螺纹用三针测量公式的推导

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1、螺纹用三针测量斜置误差公式的推导螺纹用三针测量斜置误差公式的推导一、圆柱螺纹的三针测量三针测量是在圆柱螺纹的一侧放置一根量针，在180度的另一侧放置两根量针（图1），测量跨线距离M，计算单一中径d2。图1建立笛卡尔空间坐标系Oxyz：沿螺纹轴线建立OZ轴，单个量针的轴线在OZ轴上的投影点O作为坐标系原点，两轴线为空间交叉直线，其距离为A，从点O沿垂直于量针轴线的方向建立OX轴，按右旋系统建立Y轴。显然，OX轴同时垂直于上述两轴线。OX轴与OZ轴的交点为O，与量针轴线的交点为O′，线段OO′＝A。沿OX轴并

2、垂直于量针轴线的平面与量针的截形为直径为ω的圆，在量针和螺纹都为刚体的情况下，根据静力学原理，量针与螺纹的两螺旋面的接触点对称于OX轴且每个接触点为沿量针和螺旋面的公法线方向的两曲面的交点（如图中的B点），因为这是交点的支承反力方向。显然，在XOZ平面中量针截形为椭圆，且不与螺纹截形接触，尽管螺纹截形为轴向截形。第8页共8页螺纹用三针测量斜置误差公式的推导r0＝r2－0.25Pcot（α/2）（1）右侧螺旋面表达式为x＝rcosθy＝rsinθ（2）z＝λθ＋（r－r0）tg（α/2）式中λ为螺旋参数。λ

3、＝nP/（2π）（其中n是螺纹头数，P为螺距）。r为半径θ为相对于XOZ平面的转角此曲面的曲线坐标为r和θ。曲线坐标r为与OX轴夹角为α/2的轴向截形；曲线坐标θ为圆柱螺旋线。可以证明此曲面没有奇点。螺旋面表达式可改写为向量表达式r＝x（r，θ）i+y（r，θ）j+z（r，θ）k曲面的切向量rr和rθ分别为rr＝xri＋yrj＋zrkrθ＝xθi＋yθj＋zθk单位法向量N为N（3）单位法向量的模＝测量点接触相切，即量针与螺旋面的测量接触点有公切面和公法线，量针接触点的单位法向量与螺旋面的单位法向量数值相

4、等而方向相反。图1中，量针圆心O′的坐标为（A，0，0），接触点B坐标为（x，y，z），由向量和可得OB＋BO′＝OA，式（3）中N指向实体与向量BO′反向，于是（xi＋yj＋zk）－＝Ai可得A＝rcosθ－＝rcosθ－（4）rsinθ＋＝0（4a）λθ＋（r－r0）tg－＝0（4b）由式（4a）和式（4b）分别得tgθ＝（4c）第8页共8页螺纹用三针测量斜置误差公式的推导θ＝（5）由式（4c）可知，接触点B的转角θ为负值。于是式（5）变为θ＝（5a）由量针半径BO′有解得r（6）式中S（6a）由式（

5、5）和（6）迭代联解r和θ。当λ＝0时，即螺距＝0，此时螺纹变成V型圆环槽，于是在XOZ平面上，量针截形为圆且与V型槽侧面接触，这是一般推导三针的图形。由式（4c）可知θ＝0，由式（5）和（6）都可得r＝r0＋0.5ωcos（α/2）cot（α/2）（7）迭代联解r和θ时，可用式（7）所得r或θ＝0作为初始值带入计算。用所得的r和θ值带入式（4）计算A值，三针跨线测值M为M＝2A＋ω（8）当λ＝0时，V型圆环槽轴线与单根量针轴线间距离A由式（4）和式（7）得A＝r0＋0.5ω/sin（α/2）带入式（8）

6、并由式（1）得此时的三针跨线测值M0为M0（8a）斜置误差Δ为Δ＝M－M0（9）这是圆柱对称螺纹斜置误差的准确计算公式。Δ大于零。由式（9）可得M＝M0＋Δ（9a）式（8a）可改写为M0＝d2＋C（9b）式中三针测量常数C（9c）由式（9a）和（9b）可得第8页共8页螺纹用三针测量斜置误差公式的推导d2＝M－C＋K1（10）式中K1—为斜置误差修正量，它按下式计算K1＝－Δ（10a）对于内螺纹不能用三针测量，只能用量球测量。如果测量外螺纹时用量球代替量针，其斜置误差仍按上述推导并用上述公式计算。关于圆柱不

7、对称螺纹的斜置误差计算，见下节。二、圆锥螺纹的量针测量为了简化下述推导，以量针在螺纹一侧进行推导，见图2。图2螺纹中径的圆锥斜角为β，左侧牙侧角为α1，右侧牙侧角α2，量球直径ω，由△cde（r0－r02）tgα2＝（r01－r0）tgα1r0（10b）由△dgf和正弦定理第8页共8页螺纹用三针测量斜置误差公式的推导dg×sinα2＋df×sinα1＝P/2（10c）∠dgf＝180－α2－（90＋β）＝90－（α2＋β）∠dfg＝180－α1－（90－β）＝90－（α1－β）dg＝（r2－r0）cosβ

8、/cos（α2＋β）df＝（r2－r0）cosβ/cos（α1－β）由式（10c）可得r0（11）左右侧螺旋面表达式分别为x＝（r＋λθtgβ）cosθy＝（r＋λθtgβ）sinθ（12）z＝λθ－（r－r01）tgα1x1＝（r1＋λθ1tgβ）cosθ1y1＝（r1＋λθ1tgβ）sinθ1（13）z1＝λθ1＋（r1－r02）tgα2左右侧单位法向量N和N1分别为N（14）式中T＝（14a）N1（15）式中T1＝（15