弯曲法测量杨氏模量公式推导.doc

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1、弯曲法测量杨氏模量公式的推导　　固体、液体及气体在受外力作用时，形状与体积会发生或大或小的改变，这统称为形变。当外力不太大，因而引起的形变也不太大时，撤掉外力，形变就会消失，这种形变称之为弹性形变。弹性形变分为长变、切变和体变三种。　　一段固体棒，在其两端沿轴方向施加大小相等、方向相反的外力，其长度发生改变，。以表示横截面面积，称为应力，相对长变为应变。在弹性限度内，根据胡克定律有：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Y称为杨氏模量，其数值与材料性质有关。　　以下具体推导式子：　　；　

2、　在横梁发生微小弯曲时，梁中存在一个中性面，面上部分发生压缩，面下部分发生拉伸，所以整体说来，可以理解横梁发生长变，即可以用杨氏模量来描写材料的性质。　　如图所示，虚线表示弯曲梁的中性面，易知其既不拉伸也不压缩，取弯曲梁长为的一小段：设其曲率半径为，所对应的张角为，再取中性面上部距为厚为的一层面为研究对象，那么，梁弯曲后其长变为，所以，变化量为：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　又　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；　　所以　　　　　　　　　　　　　　；　　所以应变为：　　　　

3、　　　　　　　　　　　　　　；（变化量为Dl，dx为l）　　根据虎克定律有：　　　　　　　　　　　　　　　　；　　又　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；　　所以　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；　　对中性面的转矩为：　　　　　　　　　　　　　　　；　　积分得：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；　　　　　　　　（1）　　对梁上各点，有：　　　　　　　　　　　　　　　　；　　因梁的弯曲微小：　　　　　　　　　　　　　　　　；　　所以有：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；　　　

4、　　　　　　　　　　　　　　　　（2）　　梁平衡时，梁在处的转矩应与梁右端支撑力对处的力矩平衡，　　所以有：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；　　　　　　　　　　　　　　　（3）　　根据（1）、（2）、（3）式可以得到：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；　　据所讨论问题的性质有边界条件；　　　　　　　　　；；　　解上面的微分方程得到：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　将代入上式，得右端点的值：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；　　又　　；　　

5、所以，杨氏模量为：　　　　　　　　　　　　　　　　　上面式子的推导过程中用到微积分及微分方程的部分知识，作者之所以将这段推导写进去，是希望学生和教师在实验之前对物理概念有一个明晰的认识。材料来自北京航空航天大学物理实验教学中心电子讲义