高等数学中反例的若干构造方法

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1、高等数学中反例的若干构造方法摘要：高等数学中的概念、定理比较多，让学生快速准确地理解并掌握这些概念和定理并非易事，它需要正面的说明解释，还需要从反面对比考证。着重对反例的构造方法和在高等数学中的作用进行了初步探讨。关键词：反例；构造方法；高等数学；概念；定理反例是构造法中的一种常见方法，它体现了数学发现、化归、猜想、实验、归纳等思想，它以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体问题的特点而采取的一种相应的解决方法。反例教学是一种简洁、明晰的教学辅助方法，它对理解数学问题的概念与原理都有极其重要的作用。本文将从反例的构造方法、反例的作用这两个方面进行探讨。一

2、、反例的几种构造方法及其应用1•分析数量关系法有些假命题，题设给定了某些数量关系或隐含了数量关系，当题设满足其中一部分数量关系时，结论就成立；但满足了另一部分数量关系时，结论就不成立。此时，只要注意讨论题设的数量关系，就容易找到反例。2.分析题设导引法对命题题设进行分析、推理，找出题设与结论之间的关系(充分条件、必要条件、充要条件)，而在题设条件下这些命题有明显的错误。例1.f(x)=1,0WxW12,l〈xW2此函数在［0,2］上可积，但f(x)在x=l处间断•即f(x)在闭区间［0,2］±不连续.3•构造法(1)特例构造法它是利用一些极端情况与典型反例来构造所需

3、的反例。极端情况如，分式的分母为零，三角形中的直角三角形、等腰三角形，两直线平行或相互垂直等；典型反例如，处处不连续的狄里克雷函数等。有了这些特例，必要时灵活地运用，就可构造出所需的反例。例2.函数y=f(x)在x=x0处连续，是否一定在x=x0的某一邻域内也连续？狄里克雷函数D(x)=lx为有理数0x为无理数，处处不连续，利用该例作f(x)=f(x-xO),D(x)=x-xOx为有理数0x为无理数，f(x)在x=xO处连续，但在x=xO的任何邻域内都不连续。(2)性质构造法性质构造法是根据反例本身的性质与特点，按一定的技能进行反例的构造。康托曾构造出一个连续单调函

4、数，其导数几乎处处为零的例子，即，康托函数。这种构造的函数看起来人为因素强，却符合数学现成的理论与规律。例3•关于半偶数方阵不存在的猜想。传说普鲁士阅兵时，需从6个部队中选派6个不同级别的军官各一名，共36人组成方队，但要求每一行每一列都有各部队、各级别的代表，这就是"36名军官问题。”欧拉当时并没有排出。但他猜想当n=4m+2,m=0,1,2……(通常称为半偶数)时，方阵不存在。欧拉以后，不少数学家把欧拉方阵作为两个拉丁方阵来研究，若能证明n为半偶数时，不存在两个正交拉丁方阵，就相当于证明了欧拉猜想。一个多世纪以来，认为欧拉猜想正确的思想一直占优势。1959年，印

5、度数学家玻包和史里克汉德找到一个n=22的正交拉丁方阵，这个反例推翻了欧拉猜想。随后，美国数学家派克又构造了n=14,26的正交拉丁方。他们以出色的反例结束了论证170多年的猜想。(1)比较构造法此类构造从两个不同角度看，有两种不同形式。其一是根据已知反例的特点与思维方法，在新的范围内构造出类似的反例。女口，魏尔斯特、拉斯用级数的方法构造出一个无处可微的连续函数，此法被广泛应用，构造出许多无处可微的连续函数。另一种是将所给命题与相似的已知命题作比较，找出其不同之处，构造反例。(2)利用分类的方法分类就是依据某一确定的特征，把满足题设及所有情况分为若干个并列的类(若是

6、概念，则对其外延进行分类)，然后逐步去考察，是否能得到题断。必要时，还要对上述的类依据某种特征再次分类考察，直接构造出反例来。最常见的是二分法，即，将题设的所有情况分为两类，使一类具有某种属性，而另一类不具有此种属性。若前一类情况可设成立，则考察后一类情况。甚至可对后一类情况继续施行二分法分类。例4•试举例说明下述命题是假的：若数f(x)在［a,b］上有界，则f(x)在［a,b］上的定积分存在。就有界函数而言，可分为连续和不连续两类：在［a,b］上连续的函数(当然有界)，那么它的定积分必然存在。若f(x)在［a,b］上有界但不连续，则可又依据间断点的情况分为两类：有

7、限个间断点和无限个间断点。若是第一类，f(x)也是可积的。若是第二类，则f(x)不一定可积。取f(X)=1X为有理数Ox为无理数，考察其在［0,1］上的情况。显然f(x)是有界的，但它有无限个间断点。由定积分的定义可知，f(x)在［0,1］上是不可积的，这就说明了上述命题为假命题。4.定义法由定义、法则出发，对照分析，抓住容易疏忽的条件，创设反例。(如分母不为零等)二、反例在高等数学教学中的作用1•用反例有利于命题结论的掌握能使学生准确理解概念和正确掌握定理数学的知识体系是由概念和命题等内容组成的，学生的抽象概括能力、逻辑思维能力、空间想象能力、分析运算能力、解