天津南开中学2008届高三理科数学校模拟试卷(答案)

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1、天津南开中学2008届高三数学理科模拟试卷参考答案2008.05.05天津南开中学2008届高三数学理科模拟试卷参考答案一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）12345678910DADDBCBBCA二、填空题：(本大题共6小题，每小题4分，共24分.)11.某校有名教职工，其中教师名，行政人员名，后勤人员名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见。现采取分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，其中后勤人员应抽人数为______________.12.若二项式（）的展开式中含有常数项，则的最小值为______________.13.已知圆和直线相交于两点,若,则的值为__

2、_____________.14.设，，，，则的值为_________________.15.对正整数，记曲线处的切线与轴交点的纵坐标为，设，则＝_________________.16.在平面斜坐标系中，，平面上任一点关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若，其中分别为与轴、轴同方向的单位向量，则点斜坐标为．那么以为圆心，为半径的圆在斜坐标系中的方程为_________________.第10页共10页天津南开中学2008届高三数学理科模拟试卷参考答案2008.05.05三、解答题：本大题共6小题，共76分．其中17－20小题每题12分，21－22小题每题14分.解答应写出文字说明，证明过

3、程或演算步骤．11.已知的三个内角分别为、、，向量与向量夹角的余弦值为.（1）求角的大小；（2）求的取值范围.解：（1），且，∴.即解得（舍），∴……6分（2）由（1）可知，∴.，∴,∴.即.………………12分12.盒内有大小相同的个球，其中个红色球，个白色球，个黑色球.规定取出个红色球得分；取出个白色球得分；取出个黑色球得分.现从盒内任取个球.（1）求取出的个球颜色互不相同的概率；（2）求取出的个球得分之和恰为分的概率；（3）设为取出的个球中白色球的个数，求的分布列和数学期望.解：（1）记“从盒中取出1个红色球，1个白色球，1个黑色球”为事件，第10页共10页天津南开中学2008届高三

4、数学理科模拟试卷参考答案2008.05.05则.…………3分（2）记“从盒中取出1个红色球，2个白色球”为事件，“从盒中取出2个红色球，1个黑色球”为事件，事件与事件为互斥事件.则.…………6分（3）可能的取值为.，，，.的分布列为:0123的数学期望.…………12分11.已知在正方体中，分别是的中点，在棱上，且．（1）求证：；（2）求与所成角的余弦值；（3）求二面角的大小（用反三角函数表示）．（1）证明：连接，因为分别是的中点，所以在正方体中，面，为在平面内的射影，且，根据三垂线定理，第10页共10页天津南开中学2008届高三数学理科模拟试卷参考答案2008.05.05，所以…………3

5、分（2）延长到，使，连接.显然，因为，所以和所成的角为与所成的角.设正方体的边长为，则，，,在三角形中，,∴与所成角的余弦值为.…………7分（3）取的中点，连接，作，垂足为因为为中点，所以，所以平面，在平面内的射影是,根据三垂线定理可知，∴的邻补角为二面角的平面角.在正方形中，计算得，因为，所以，所以二面角的大小为…………12分11.已知函数.（1）求的最小值；（2）若对所有，都有，求实数的取值范围.第10页共10页天津南开中学2008届高三数学理科模拟试卷参考答案2008.05.05解：（1）的定义域为，的导数.令，解得；令，解得.从而在单调递减，在单调递增.所以，当时，取得极小值，亦

6、为最小值.…………6分（2）解法一：依题意，得在上恒成立，即不等式对于恒成立.令，则.当时，因为，故是上的增函数，所以在上的最小值是，从而的取值范围是.…………12分解法二：令，则，①若，当时，，故在上为增函数，所以，时，，即.②若，方程的根为，此时，若，则，故在该区间为减函数.所以，时，，即，与题设相矛盾.综上，满足条件的的取值范围是.…………12分第10页共10页天津南开中学2008届高三数学理科模拟试卷参考答案2008.05.0511.已知、分别是椭圆的左、右焦点，其左准线与轴相交于点，并且满足.设、是上半椭圆上满足的两点，其中.（1）求此椭圆的方程；（2）求直线的斜率的取值范围；

7、（3）过、两点分别作此椭圆的切线，两切线相交于一点，求证：点在一条定直线上，并求点的纵坐标的取值范围.解：（1）由于，∴解得，从而所求椭圆的方程为.…………4分（2）∴三点共线，点的坐标为.显然直线存在斜率，设为，设直线的方程为，依条件知.由消去得，即.根据条件可知解得.第10页共10页天津南开中学2008届高三数学理科模拟试卷参考答案2008.05.05设，则根据韦达定理，得又由∴从而消去,则.由，有，即，解得.而,∴,因此直线的