高考数学兵法10招（6）调虎离山，命题转换

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1、数学高考10招（6）在深潭里，龙可以呼风唤雨，推波助澜；在崇山峻岭之中，虎可以“威震群山"，可是：“龙入浅水遭虾戏；虎落平阳被犬欺”，因此，人要与龙虎斗，就应设法使其脱离可以发威的环境.引伸到数学解题上，常有这种情形，一种题在题设的环境中显得十分难解，这是因为“虎”在群山，我们的办法则是使“虎“落平阳.（一）空间问题平面化数学难题也是“虎”，当“虎”在空间时，确实威风八面，让人不敢仰视。这时，何不让这只虎落平阳：将三维问题降到二维，甚至一维，处理起來不就方便多了吗？【例1】多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面G内，其余顶点在Q的同侧，正

2、方体上与顶点A相邻的三个顶点到4的距离分别为1,2和4,P是正方体的其余4个顶点中的一个，则P到平面Q的距离可能是：①3；②4；③5；④6；⑤7.以上结论正确的为【解析】这个正方体的下底正方形有3个顶点到平面&的距离分别是0,1,2,根据对称原则，第4个顶点到平面&的距离应为（1+2-0）=3；上底正方形有1个顶点到平面Q的距离为4,且这个顶点所在侧棱的另一个顶点恰在平面Q内，故其余3个顶点到平面Q的距离为:1+4=5；2+4=6；3+4二7.这就是说：点P到平面Q的距离可能是①3；③5；④6；⑤7.【点评】本解正是将空间问题向平面问题转换.【例2】如图，在长方体ABC£>

3、—中AB二6,AD二4,AA]二3分别过BC,的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为X=^ae^-DFD{>，岭=%/

4、：V2：V3=l：4：1,贝IJ截面A[EFDlB

5、•S'bB^E、一：4：1•即丄AEAA{:BEAAi:丄BxEvAA^l：4：1.22A—AE:BE：—BiEi=l：4：1.22设AE=BE=2x,则BE=4x.2兀+4x=6,.*.x=1.于是AE=2,

6、己知AA]=3,・・・A]E=Vi?.S截砌=A)E-EF=4ViT,选C.【点评】本例先由体积比转化为而积比，再由面积比转化为线段比，而线段（AB）Z长为已知，再求目标而积也就是轻而易举的事了.（二）环境陌生转移法【例3】某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，乂工程丁必须在工程丙完成后立即进行.那么安排这6项工程的不同排法种数是（用数字作答）【解析】原题等价于：设有A、B、C、D、E、F共6个人站成一排，其中A、B、C只有一种顺序，而D在C后且与C相邻，有多少种不同的站法？解法：视CD为一人，则5个人的

7、全排列数为农=120,其中A、B、CD的6种排列顺序中，只能按A、B、CD的先后顺序排列，故总排列数为120x1=20.6【点评】咋一见题，题的环境好陌生.沉不住气的考生，就不禁心慌意乱，越发“丈二和尚，摸不着头脑：可是，你不能考虑转换麽？如本题那样，将题的数学精髓抽出来，放到我们熟悉的环境屮去，那么我们再去控“虎”，也就得心应手了.（三》代数问题几何化【例4]设x,y,zE疋,且a-yjx2-xy+y2,b=^y2-yz+z2,c=V?-zr+/，则在结论（I）a+b>c;（2）a+c>b;（3）b+c>a中（）A.—定都成立B.—定都不成立C.至多有一个成立D.有且仅有

8、两个成立【思考】在“根式运算”这样的崇山峻岭之屮，ci,b,c都是一个个张牙舞爪的老虎，想降伏它们又何其难也，可是不能让他们远离“根式”这座高山么？式子①、②、③说到底不就是三角形的边角关系么？【解析】构造如图所示的三棱锥P—ABC,使得PAn,PB=y,PC=Z,且PA、PB、PC两两夹角均为60。,则由余弦定理：a=yjx2-xy+y2,b-yjy2-yz+z2,C=ylz2-zx+x2,△ABC中a+b>c,b+c>a,c+a>b,/.选A.【点评】在惊叹这种解法之奇妙的同时，你可能会问：你怎么这样会想？我怎么想不到呢？答曰：经验来自积累，聪明源于勤奋.如果平时每做一

9、道题，特别是那些经典定理、公式求解的题，你都争取在头脑屮留下一定痕迹，这样FI积月累，必要时你也同样能够豁然开朗，运用自如.(四)代数问题三角法【例5】函数尸低+"7的值域是()A.(0,+oo)B.［1,V2~］C.［o,-k»)D.(0,V2)【思考】一般想法是：平方、移项，孤立根式，再平方，可以化无理式为有理式，可是以后怎么办呢？而对一个不低于四次的含双变量的方程，其难度不敢想像.“山重水复”，得考虑转换，去寻找“柳暗花明二【解】由=>0