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《常微分方程的常见解法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一、向量场设一阶微分方程满足解的存在唯一性定理的条件。平面的一个区域的右端函数在中有定义,那么，过中任一点有且仅有的一个解，满足从几何方面看，解就是通过点的一条常微分方程的解法介绍曲线（称为积分曲线），且就是该曲线上的点处的切线斜率，特别在切线斜率解，但我们知道它的解曲线在区域D中任意点的切线斜率是。就是尽管我们不一定能求出方程的如果我们在区域D内每一点处，都画上一个就得到一个方向场，将这个方向场称为由微分方程所确定的向量场。的值为斜率中心在以点的线段，我们它所确定的向量场中的一条曲线，该曲线所经过的从几何上看，方程的一个解就是位于每一点都与
2、向量场在这一点的方向相切。行进的曲线，因此，求方程满足初始值的这样的一条曲线。的解，就是求通过点形象的说，解就是始终沿着向量场中的方向向量场对于求解微分方程的近似解和研究微分方程的几何性质极为重要，因为，可根据向量场的走向来近似求积分曲线，同时也可根据向量场本身的性质来研究解的性质。例1.3.1在区域内画出方程的向量场和几条积分曲线。解：用计算各点的斜率的方法手工在网格点上画出向量场的方向可以得到向量场，但手工绘图误差较大。我们可以用Maple软件包来完成。点的向量相重合。L在每点均与向量场的向量相切。在L上任一点，L的切线与所确定的向量场在
3、该定理1.3L为的积分曲线的充要条件是：曲线Maple指令：DEtools[phaseportrait]#画向量场及积分曲线([diff(y(x),x)=-y(x)],y(x),#定义微分方程x=-2..2,#指定x范围[[y(-2)=2],[y(-2)=1],[y(-2)=-2]],#给出3个初始值dirgrid=[17,17],#定义网格密度arrows=LINE,#定义线段类型axes=NORMAL);#定义坐标系类型在MATLAB的向量场命令为quiver(x,y,px,py)回车后Maple就在条积分曲线，见下图的图形，并给出了过点
4、的网格点上画出了向量场的三所谓图解法就是不用微分方程解的具体表达式，直接根据右端函数的结构和向量场作出积分曲线的大致图形。图解法只是定性的，只反映积分曲线的一部分主要特征。该方法的思想却十分重要。因为能够用初等方法求解的方程极少，用图解法来分析积分曲线的性态对了解该方程所反映的实际现象的变化规律就有很重要的指导意义。二、积分曲线的图解法三、一阶常微分方程的解法1线性方程2变量可分离方程3全微分方程4变量替换法5一阶隐式方程6近似解法7一阶微分方程的应用初值问题的解为初值问题的解为Bernoulli方程求出此方程通解后,令解法:伯努利方程的标准
5、形式:除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解。例湖泊的污染设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸，这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率20立方米每小时.开始湖中有水400000立方米.河水中流入不含盐酸的水是1000立方米每小时,湖泊中混合均匀的水的流出的速率是1000立方米每小时,求该厂排污1年时,湖泊水中盐酸的含量。解:设t时刻湖泊中所含盐酸的数量为考虑内湖泊中盐酸的变化。因此有该方程有积分因子两边同乘以后,整理得积分得利用初始条件得当,得变量可分离方程的求解方程（2.2.1）两边同除以这样对上式两边积分得到齐次函数:函
6、数称为m次齐次函数,如果齐次方程:形如的方程称为齐次方程。引入一个新变量化为变量可分离方程求解思想:求解。齐次方程可化为齐次方程的方程形如的方程可化为齐次方程.其中都是常数.1.当时,此方程就是齐次方程.2.当时,并且(1)此时二元方程组有惟一解引入新变量此时,方程可化为齐次方程:(2)若则存在实数使得:或者有不妨是前者,则方程可变为令则4.对特殊方程令则例求方程的通解。解：解方程组得令代入原方程可得到齐次方程令得还原后得原方程通解为变量分离后积分例:雪球融化问题设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例，且融化过程中它始终为球体，该雪球在开始
7、时的半径为6cm，经过2小时后，其半径缩小为3cm。求雪球的体积随时间变化的关系。解:设t时刻雪球的体积为，表面积为，球体与表面积的关系为变量可分离方程的应用由题得引入新常数再利用题中的条件得分离变量积分得方程得通解为再利用条件确定出常数C和r代入关系式得t的取值在之间。中连续且有连续的一阶偏导数，则定理2.1设函数和在一个矩形区域是全微分方程的充要条件为:（2.3.3)方程为全微分方程的充要条件例：验证方程是全微分方程，并求它的通解。由于3.全微分方程的积分解：当一个方程是全微分方程时,我们有三种解法.(1)线积分法:或由公式(2.3.4)
8、得:故通解为其中为任意常数所以方程为全微分方程。(2)偏积分法的通解.例：求方程由于解：假设所求全微分函数为,则有求而即从而即例：验证方程是全微分方程，并求它满足初
