常微分方程常见形式及解法

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1、常微分方程常见形式及解法知行130113275001毕文彬1常微分方程毕文彬微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在初等数学的代数方程，其解是常数值。常微分方程（ODE）是指一微分方程的未知数是单一自变数的函数。最简单的常微分方程，未知数是一个实数或是复数的函数，但未知数也可能是一个向量函数或是矩阵函数，后者可对应一个由常微分方程组成的系统。微分方程的表达通式是：常微分方程常依其阶数分类，阶数是指自变数导数的最高阶数，最常见的二种为一阶微分方程及二阶微分方程。例如以下的贝塞尔方程：（其中y

2、为应变数）为二阶微分方程，其解为贝塞尔函数。2常微分方程毕文彬常见例子以下是常微分方程的一些例子，其中u为未知的函数，自变数为x，c及ω均为常数。非齐次一阶常系数线性微分方程：齐次二阶线性微分方程：描述谐振子的齐次二阶常系数线性微分方程：非齐次一阶非线性微分方程：描述长度为L的单摆的二阶非线性微分方程：3常微分方程毕文彬微分方程的解微分方程的解通常是一个函数表达式（含一个或多个待定常数，由初始条件确定）。例如：dy/dx=sinx，的解是y=-cosx+C，其中C是待定常数；例如，如果知道y=f(π)=2，则可推出C=1，而可知y=-cos

3、x+1，4常微分方程毕文彬0102简易微分方程的求解方法一阶线性常微分方程二阶常系数齐次常微分方程5常微分方程毕文彬一阶线性常微分方程对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常数变易法：对于方程：可知其通解：然后将这个通解代回到原式中，即可求出C(x)的值016常微分方程毕文彬二阶常系数齐次常微分方程对于二阶常系数齐次常微分方程，常用方法是求出其特征方程的解对于方程：可知其通解：其特征方程：根据其特征方程，判断根的分布情况，然后得到方程的通解一般的通解形式为(在r1=r2的情况下):(在的r1≠r2情况下):(在共轭复数根的情况下)：027常微

4、分方程毕文彬01020304一般通解可分离方程一般一阶微分方程一般二阶微分方程线性方程(最高到n阶)8常微分方程毕文彬可分离方程01微分方程解法通解一阶，变量x和y均可分离分离变量（除以P2Q1）。一阶，变量x可分离直接积分。一阶，变量y可分离分离变量（除以F）。一阶，变量x和y均可分离整个积分。9常微分方程毕文彬一般一阶微分方程02微分方程解法通解一阶，齐次令y=ux，然后通过分离变量u和x求解.一阶，可分离变量分离变量（除以xy）。如果N=M,解为xy=C.恰当微分,一阶其中整个积分。其中Y(y)和X(x)是积分出来的函数而不是常数，将

5、它们列在这里以使最终函数F(x,y)满足初始条件。反常微分,一阶其中积分变量μ(x,y)满足如果可以得到μ(x,y)：10常微分方程毕文彬一般二阶微分方程03微分方程解法通解二阶原方程乘以2dy/dx,代换,然后两次积分.一阶线性，非齐次的函数系数积分因子:二阶线性，非齐次的常系数余函数yc:设yc=eαx，代换并解出α中的多项式，求出线性无关函数。特解yp：一般运用常数变易法，虽然对于非常容易的r(x)可以直观判断。如果b2>4c,则:如果b2=4c,则:如果b2<4c,则:线性方程(最高到n阶)0411常微分方程毕文彬谢谢观看12常微分

6、方程毕文彬