优化设计方法

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1、5.3、惩罚函数法1、基本思想:(又称序列无约束极小化方法）把有约束优化问题根据约束特性构成惩罚函数并使其加到原目标函数上，从而转化为一系列无约束优化问题来处理的一种方法。将约束优化问题中的不等式和等式约束函数经过加权转化后和原目标函数结合，构成新的目标函数-----惩罚函数。这种转化必须满足如下两个前提条件：A.不破坏原约束优化的约束条件.B.最优解必须归结到原约束优化的最优解上去。这种“惩罚”策略，给予无约束极值问题求解过程中企图违反约束的那些迭代点以很大的目标函数值，而无约束极值问题的目的是极小化目标函数，这

2、样迫使无约束问题的极小点趋向于满足约束条件。约束优化问题数学模型将目标函数和约束函数综合构造成一种新函数（经加权处理），即式中称为（增广目标函数）惩罚函数。惩罚因子（加权因子）以某种方式构成的关于的泛函数称为加权转化项。根据它们在惩罚函数中的作用，又分别称为障碍项和惩罚项。障碍项的作用是当迭代点在可行域内时，在迭代过程中将阻止迭代点越出可行域，惩罚项的作用是当迭代点在非可行域或不满足等式约束条件时，在迭代过程中将迫使迭代点逼近约束边界或等式约束曲面。惩罚函数在优化过程中迭代点是否为可行点，惩罚函数又可分为外点惩罚函

3、数法、内点惩罚函数法和混合惩罚函数法三种。1、内点惩罚函数法（内点法）①该法是求解不等式约束最优化问题的一种十分有效的方法，但不能处理等式约束。②主要特点：将惩罚函数定义在可行域的内部，这样，每一迭代点都是在可行域内部移动的，因此，从可行域内部逐渐逼近原约束优化问题的解。对于具有不等式约束优化问题:构造内点惩罚函数法的一般形式：或式中-----惩罚因子,是一个递减的正数序列.－或—障碍项且或—障碍项内点法对企图从内部穿越可行域的点施以惩罚。设计点离边界越近时，则障碍项的值急剧增大,并趋向无穷大,于是惩罚越大,于是惩

4、罚函数亦随之急剧增大至无穷大.就好像在可行域的边界上设置很高的障碍，从而保障迭代点一直在可行域内而又趋向于约束最优点。当时，才能求得原约束问题的最优解。参数的选取和确定：给定求可行域内初始点计算惩罚因子求解内点惩罚函数的极小点迭代终止判别输出最优解是否（1）初始点参数的选取和确定的确定（教材：采用原机械有关参数作为初始点）由于内点法的搜索是在可行域内进行，所以初始点应严格满足全部约束条件，即：我们这里采用搜索性方法确定初始点。先任选一个设计点作为初始点，一般情况下，点不能满足全部约束条件，可采用某种调整的方法将点逐

5、步引入到可行域内成为可行点。（2）初始惩罚因子的选择初始惩罚因子的选择对于计算效率影响很大.若值得太小，则在惩罚函数中障碍项（惩罚项）的作用就会很小，这时求惩罚函数的无约束极值点。犹如求原目标函数本身的无约束极值点而这个极值点又不大可能接近的约束极值点,且有跑出可行域的危险。若值取得太大，则惩罚函数中的障碍项（惩罚项）大。因而求惩罚函数的无约束极值点就会离约束极值点过远，需要花费较长的时间才能逐步逼近约束极值点，使计算效率降低。一般建议取但多数情况或按下式确定选取值，这主要是考虑使障碍项－在惩罚函数中所起的作用与原

6、目标函数的作用相当。C.惩罚因子的缩减系数C的选择由可知，递减系数C值选得较小，惩罚因子下降快，造成序列最优点间隔大。递减系数C值选得较大，造成序列最优点间隔较密，无约束求优次数必然增多。一般取c=0.1~0.7之间。D.收敛条件：同时满足:(1)相邻两次惩罚函数值相对变化足够小；(2)相邻两次惩罚函数无约束最优点的距离足够小。E.内点法的迭代步骤：①选取可行的初始点点不应在边界上，最好不要靠近任何一个约束边界。②选取适当的惩罚因子的初值，缩减系数C以及收敛精度，令迭代次数K=0。③构造惩罚函数，选择某一适当的点。

7、无约束优化方法，求④判别迭代是否收敛条件(2-822-83)若满足，迭代终止，约束最优解为：否则:令转③程序框图如下3.惩罚函数法（外点法）外点法即可用来求解不等式约束优化问题，又可用来求解等式约束优化问题。特点：惩罚函数定义在可行域的外部，从而在求解一系列无约束优化问题的过程中，从可行域的外部逐渐逼近原约束优化问题的最优解。对于约束优化问题外点法求解时，惩罚函数的形式为：式中：惩罚因子，是递增的正数序列，即惩罚项具体含义如下：（1）当在可行域内部和约束边界上时，满足所有约束条件：即无论取何值此时惩罚函数等于原目标

8、函数（2）当违反这一约束条件，即无论取任何正值，必定有这表明在可行域外面时,惩罚项起着惩罚作用.离开约束边界越远，惩罚项值越大，相当于对违反约束条件的一种“惩罚”，惩罚项值越大，惩罚越重。（3）惩罚因子，是一个递增的正值数列，即随着迭代次数的增加，值越来越大，迫使所求向原约束优化问题的最优解靠拢。迭代点即逐渐减小在约束面上时2）初始点惩罚因子及惩罚系数C如何