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1、3.3最优化设计最优化设计方法是指采用最优化准则来设计的方法。在FIRDF的最优化设计中,最优化准则有均方误差最小化准则和等波纹切比雪夫逼近(也称最大误差最小化)准则两种。实际设计中,只有采用窗函数法中的矩形窗才能满足前一种最优化准则,但由于吉布斯(Gibbs)效应的存在，使其根本不能满足设计的要求。为了满足设计的要求,可以采用其它的窗函数来消除吉布斯效应,但此时的设计已经不能满足该最优化准则了。因此,要完成FIRDF的最优化设计,只能采用后一种优化准则来实现。3.3.1 等波纹切比雪夫逼近准则在滤波器的设计中,通常情况下通带和阻带的误差要求是不一样的。等波纹切比雪夫逼
2、近准则就是通过对通带和阻带使用不同的加权函数,实现在不同频段(通常指的是通带和阻带)的加权误差最大值相同,从而实现其最大误差在满足性能指标的条件下达到最小值。尽管窗函数法与频率采样法在FIR数滤波器的设计中有着广泛的应用,但两者不是最优化的设计。通常线性相位滤波在不同的频带内逼近的最大容许误差要求不同。等波纹切比雪夫逼近准则就是通过通带和阻带使用不同的加权函数,实现在不同频段(通常指的是通带和阻带)的加权误差最大值相同,从而实现其最大误差在满足性能指标的条件下达到最小值，即使得和之间的最大绝对误差最小。等波纹切比雪夫逼近是采用加权逼近误差，它可以表示为：(3-4)其中，
3、为逼近误差加权函数在误差要求高的频段上，可以取较大的加权值，否则，应当取较小的加权值。尽管按照FIR数字滤波器单位取样响应h(n)的对称性和N的奇、偶性，FIR数字滤波器可以分为4种类型，但滤波器的频率响应可以写成统一的形式：(3-5)其中，k∈{0,1},H(ω)为幅度函数，且是一个纯实数，表达式也可以写成统一的形式：(3-6)其中，为ω的固定函数，为M个余弦函数的线性组合。3.3.2仿真函数利用数字信号处理工具箱中的remezord和remez函数可以实现FIRDF的最优化设计。在此先介绍这两个函数:(1)n,fo,ao,weights=remezordf,a,de
4、v功能:利用remezord函数可以通过估算得到滤波器的近似阶数n,归一化频率带边界fo,频带内幅值ao及各个频带内的加权系数weights。输入参数f为频带边缘频率,a为各个频带所期望的幅度值,dev是各个频带允许的最大波动。(2)h=remez(n,fo,ao,weights‘,ftype’)功能:利用remez函数可以得到最优化设计的FIRDF的系数,输入参数n是滤波器的阶数,fo,ao,weights参数含义说明同(1)。ftype是所设计的滤波器类型,它除了可以设计普通的滤波器外,它还可以设计数字希尔钞特变换器以及数字微分器。实际设计中,由于remezord函
5、数可跑高估或低估滤波器的阶数n,因此在得到滤波器的系数后,必须检查其阻带最小衰减是否满足设计要求。如果此时的技术指标不能满足设计要求,则必须提高滤波器的阶数到n+1,n+2等。故等波纹切比雪夫逼近法设计FIR数字滤波器的步骤是：①给出所需的频率响应，加权函数和滤波器的单位取样响应的长度N。②由①中给定的参数来形成所需的、和的表达式。③根据Remez算法,求解逼近问题。④利用傅立叶逆变换计算出单位取样响应。用最优化设计法设计一个滤波器：例1：设计一个最小阶数的低通滤波器，采样频率fs=2000Hz，通带截止频率为500Hz，阻带的截至频率为600Hz，阻带最小衰减为40d
6、B，通带的最大衰减为3dB。在设计之前应先确定用说明方法设计，本例可选择等波纹的最优化设计法。程序如下：fs=2000;%采样频率rp=3;%通带波纹rs=40;%阻带波纹f=[500600];%截止频率a=[10];%期望的幅度dev=[(10^(rp/20)-1)/(10^(rp/20)+1)10^(-rs/20)];[n,fo,ao,w]=remezord(f,a,dev,fs);b=remez(n,fo,ao,w);%调用最优设计法中remez函数freqz(b,1,1024,fs)程序运行后，计算机输出该滤波器的幅频及相频响应特性，如图1所示。图1 滤波器输出
7、的幅频及相频响应特性上图中幅频特性曲线从500Hz开始向下折，这是因为题设中通带截止频率为500Hz，同样图中幅频曲线在600Hz降为最低，是因为题设中阻带的截至频率为600Hz。最优化设计图5 滤波器输出的幅频及相频响应特性结果分析：在设计中,如果该滤波器的特性不满足要求,那么,原有参数必须作适当调整。这在程序中很容易实现,只需对参数进行重新设定,就可以得到新条件下滤波器的特性。采用最优化设计方法时大大减小了滤波器的阶数,从而减小了滤波器的体积,并最终降低了滤波器的成本。这样使得设计出来的滤波器更为简单经济。因而在实际的滤波器设计中,这
