概率论与随机过程第1章6节

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1、第6节随机变量及其分布随机变量离散性随机变量及其分布连续性随机变量及其分布随机变量的引入:随机试验E基本事件e随机事件A样本空间S{e}?数字标记法e与数联系(一)随机变量把试验结果数值化--样本空间数值化E2：将一枚硬币抛两次,观察正反面的出现情况；S2:{(H,T),(H,H),(T,H),(T,T)}(二)样本空间-----随机试验E中，包括所有基本可能结果的集合，记为S。随机试验EE1:抛一枚硬币,观察正面H,反面T出现的情况。样本空间SS1:{H,T}E5:记录某一昼夜的最低温度x和最高温度y。设这一地区的温度不

2、会小于T0,不会大于T1。E3：掷一颗孤骰子，观察出现的点数；E4：在一批灯泡中任意抽取一支,测试它的寿命；S5:{(x,y)︳T0

3、可以说，随机事件是从静态、局部的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态、全局的观点。就象数学分析中常量与变量的区别那样.引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究.事件及事件概率随机变量及其取值规律随机变量的分类：随机变量所有取值可以逐个一一列举（可列可举）全部可能取值不仅无穷多，而且还不能一一列举，而是充满一个区间.（连续不可列）(二）离散型随机变量定义若随机变量X取值x1,x2,…,xn,…且取这些值的概率依次为p1,p2,…,pn,…,则称X为离散型随机

4、变量，而称P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)为X的分布律。可表为X～P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)，或…Xx1x2…xK…Pkp1p2…pk…所有可能取值所有可能取值的概率例1设袋中有5只球，其中有2只白3只黑。现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率。解k可取值0，1，22.分布律的性质·几个常用的离散型分布（1）贝努里(Bernoulli)概型与二项分布1.(0-1)分布若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，且事件发生的概率为p,则称X服从(0－1)分布(两点分布)若以X表示n重贝努里试

5、验事件A发生的次数，则称X服从参数为n,p的二项分布。记作X--B（n,p)其分布律为：2.二项分布设将试验独立重复进行n次，每次试验中，事件A发生的概率均为p，则称这n次试验为n重贝努里试验.显然:例2.从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3.(1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律.(2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率.解:(1)由题意,X~B(6,1/3),于是,X的分布律为:其中l>0为常数,则称X服从泊松分布,记做X~P(l)。3.泊松

6、分布：设随机变量X所有可能取值为0,1,2…,而各取值的概率为显然:泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布，当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参数=np的泊松分布例3.气象记录表明，某地在11月份的30天中，平均有3天下雪，试问明年11月份至多有3天下雪的概率。。解：从11月份中任取一天，只有两种结果，下雪为1，不下雪为0，p＝0.1，用X表示11月份下雪的天数，则X～B(30,0.1)，可近似看作为X～P(3)P(X≤3)＝P(X=0)＋P(X=1)＋P(X=2)＋P(X=3)＝(30/0!＋31/1!＋

7、32/2!＋33/3!)·e-3＝13e-3≈0.6473随机变量的分布函数一、分布函数的概念.定义设X是随机变量，对任意实数x，事件{Xx}的概率P{Xx}称为随机变量X的分布函数。记为F(x)，F(x)＝P{Xx}.易知，对任意实数a,b(a

8、…其分布函数为例2:设随机变量X的概率质量（密度）函数为:X012P求X的分布函数F(x),并求解:由概率的有限可加性可得:例2小球一定落在一半径为2的圆盘上，且其概率与该圆盘的面积成正比。以X表示质点与圆心的距离，试求随机变量X的分布函数。解:x<0,{X