概率论与随机过程第2章03488

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1、第二章随机信号概论§1.随机过程的概念随机试验→随机事件→随机变量→随机变量的函数→随机过程。随时间参数t变化的随机变量，称为随机过程。例如，X(t)。其中，是随机试验第i次的实验结果，即随机过程的第i次实现，也称为随机过程的样本(函数)；所有的集合{}构成随机过程。随机过程既是时间t，又是可能试验结果的函数，记为;2.表示随机过程在t1时刻的各可能结果的取值，称为随机过程在t1时刻的随机变量。随机过程的严格定义：设随机试验E，其样本空间为。若，总有一个确定的时间函数，与之对应，则对于所有的所对应的一族时间t的函数，称为随机过程。族中的每一个函数称为这个随机过程的样本函数。

2、因此，有：1）为一时间函数族，记为；2）为一随机变量，记为；3）为一确定的时间函数，记为；4）为一确定值，记为。随机过程的分类第一种：按时间和状态分类类别状态时间连续随机过程连续连续离散随机过程离散连续连续随机序列连续离散离散随机序列离散离散第二种：按统计特性、分布函数、概率密度函数等分类：平稳随机过程、高斯过程、白噪声等。§2.随机过程的研究方法随机过程的研究方法：1.概率描述法：利用多维概率密度与分布函数的描述；2.统计平均描述法：利用数字特征：均值，方差，相关函数，高阶矩等描述。概率描述法：概率描述是从随机过程X(t)在某一个时刻ti的随机变量的概率密度（其关心的是t

3、i时刻，发生的概率）开始描述，逐步延伸到某二个时刻ti，tj的随机变量的联合概率密度，直至随机过程X(t)在n个时刻n维随机变量的描述。理论上当n→∞，则描述完备。统计平均描述法：统计平均描述法所关心的是随机过程在某时刻或不同时刻的平均特征—均值；偏离均值的程度—方差，不同时刻随机变量之间的相关程度—相关函数，等数字特征。总之，统计平均描述法是从统计平均的意义上研究随机过程的宏观特性。统计平均描述法：随机过程的数字特征：1.均值对于任意时刻，随机过程为一随机变量。故,由于的任意性，所以对于随机过程，其均值为时间的函数，故有。2.均方值与方差二阶原点距：二阶中心矩：3.自相关

4、函数：同一随机过程不同时刻的随机变量之间的关联性。设随机过程X(t)，则定义X(t)的自相关函数:自协方差函数:4.互相关函数：不同的随机过程不同时刻的随机变量之间的关联性。设随机过程X(t)和Y(t)，则定义互相关函数：互协方差函数：可证:5.统计独立，不相关和正交设X(t)，Y(t)为两个随机过程，则关于它们之间的相互关系有下列描述：(1)若，则称随机过程X(t)与Y(t)互相统计独立；且有5.统计独立，不相关和正交设X(t)，Y(t)为两个随机过程，则关于它们之间的相互关系有下列描述：(2)若，则称随机过程X(t)与Y(t)互不相关。(3)若，则称相互正交。统计独立，

5、则，故一定不相关；但不一定为零，故不一定正交。仅当时，才有统计独立→不相关→正交。不相关，则，则。仅当时，才有不相关→正交。正交，则，且有。仅当时，才有正交→不相关。