概率论与数理统计第四章随机变量的数字特征第二节：方差

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1、第二节方差方差的定义方差的性质切比雪夫不等式例如,某零件的真实长度为a,现用甲、乙两台仪器各测量10次,将测量结果X用坐标上的点表示如图：若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣,你认为哪台仪器好一些呢？乙仪器测量结果甲仪器测量结果较好测量结果的均值都是a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近在一些场合,仅仅知道平均值是不够的.又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹,其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.中心中心由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的.那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容

2、易看到这个数字特征就是我们这一讲要介绍的:方差能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度.但由于上式带有绝对值,运算不方便,通常用量来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度.一、方差的定义(variance)1.定义:设X是一个随机变量,若E[(X-E(X)]2存在,称E[X-E(X)]2为X的方差.记为D(X)或Var(X),即:D(X)=Var(X)=E[X-E(X)]2若X的取值比较分散，则方差D(X)较大.方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度.若X的取值比较集中，则方差D(X)较小；因此,D(X)是刻画X取值分散程度的一个量,它是衡量X取值分散程度的一个尺度。X

3、为离散型，分布律P{X=xk}=pk1)由定义知,方差是随机变量X的函数:g(X)=[X-E(X)]2的数学期望.2.方差的计算X为连续型，X概率密度f(x)2)计算方差的一个简化公式:D(X)=E(X2)-[E(X)]2展开证：D(X)=E[X-E(X)]2=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2利用期望性质例1:设随机变量X具有(0,1)分布，其分布律为求D(X).解:由公式:因此,0-1分布:例2:解:X的分布律为:上节已算得因此,泊松分布:例3:解:因此,均匀分布:例4:设随机变量X服从指数分布,其

4、概率密度为解:由此可知,指数分布:二、方差的性质1.设C是常数,则D(C)=0;2.若a,b是常数,则D(aX+b)=a2D(X);3.设X与Y是两个随机变量，则:D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]证明性质3:*证明:若X,Y相互独立,此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情况.4.D(X)=0当且仅当P(X=C)=1,其中C=E(X).例6:设X~b(n,p),求E(X)和D(X).若设:i=1,2，…，n则是n次试验中“成功”的次数解:X~b(n,p),则X表示n重努里试验中的“成功”次数.i=1,2，…，n由于X1,X2,…,

5、Xn相互独立,于是:E(Xi)=p,D(Xi)=p(1-p),=np(1-p)例7:解:于是:例如,例8:解:由于:故有:D(X)=E(X2)-[E(X)]2三、切比雪夫不等式(Chebyshev’sInequality)或由切比雪夫不等式可以看出，若越小，则事件{

6、X-E(X)

7、<}的概率越大，即随机变量X集中在期望附近的可能性越大.*证:我们只就连续型随机变量的情况来证明.当方差已知时,切比雪夫不等式给出了随机变量X与它的期望μ的偏差不小于ε的概率的估计式.可见,对任给的分布,只要期望μ和方差σ2存在,则X取值偏离E(X)超过3σ的概率小于0.111.例9:已知正常男性成人血液

8、中,每一毫升白细胞数平均是7300,均方差是700.利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率.解:设每毫升白细胞数为X,则:E(X)=7300,D(X)=7002所求为:P(5200X9400)P(5200X9400)=P(-2100X-E(X)2100)=P{

9、X-E(X)

10、2100}由切比雪夫不等式:P{

11、X-E(X)

12、2100}即估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不小于8/9.例10:在每次试验中,事件A发生的概率为0.75,利用切比雪夫不等式求:n需要多么大时,才能使得在n次独立重复试验中,事件A出现频率在0.74~0.76之间的概率

13、至少为0.90?解:设X为n次试验中,事件A出现的次数，E(X)=0.75n,的最小的n.则X~b(n,0.75)所求为满足D(X)=0.75×0.25n=0.1875n=P(-0.01n

14、X-E(X)

15、<0.01n}在切比雪夫不等式中取n，则=P{

16、X-E(X)

17、<0.01n}依题意,取:解得:即:n取18750时,可以使得在n次独立重复试验中,事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90.作业习题4-22;3;8