1986高考数学试卷

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1、1986年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案一．（本题满分30分）（1）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（B）（A）（B）（C）（D）（2）函数的反函数是（C）（A）（B）（C）（D）（3）已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={3，4，5}，B={1，3，6}，那么集合{2，7，8}是（D）（A）A∪B（B）A∩B（C）∪（D）∩（4）函数是（A）（A）周期为的奇函数（B）周期为的偶函数（C）周期为的奇函数（D）周期为的偶函数（5）已知c<0，在下列不等式中成立的一个是（C）（A)(

2、B)(C)(D)（6）给出20个数：（B）87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88它们的和是（A）1789（B）1799（C）1879（D）1899(7)已知某正方体对角线长为a，那么，这个正方体的全面积是(B)（A）（B）（C）（D）（8）如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F＞0)所表示的曲线关于直线y=x对称，那么必有（A）（A）D=E（B）D=F（C）E=F（D）D=E=F（9）设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件

3、，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的（D）（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要的条件（10）在下列各图中，y=ax2+bx与y=ax+b(ab≠0）的图象只可能是（D）（A）（B）（C）（D）YYYYOOXXOXOX二．（本题满分24分）（1）求方程的解答：（注：仅写出其中一个解的，给2分）（2）已知的值答：0（3）在xoy平面上，四边形ABCD的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3）求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积答：（4）求答：（5）求展开式中的常数

4、项答：-40（6）求椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线方程答：三．（本题满分10分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任一点，求证：平面PAC垂直于平面PBCPCAOB证：设圆O所在平面为α，由已知条件，PA⊥平面α，又BC在平面α内，因此PA⊥BC因为∠BCA是直角，因此BC⊥AC而PA与AC是△PAC所在平面内的相交直线，因此BC⊥△PAC所在平面，从而证得，△PBC所在平面与△PAC所在平面垂直四．（本题满分10分）求满足方程的辐角主值最小的复数Z.Y43P2A1Q-4-

5、3-2-1OX解：满足方程的复数在复平面上所对应的点的全体组成了如图所示的一个圆，其圆心A对应的复数为，半径为，因而圆与x轴相切于点Q，点Q对应的复数是-3从点O作圆的另一条切线OP，P为切点，则点P所对应的复数为所求的复数∵设点B对应的复数为1，∴∠BOA=1500，

6、OA

7、=，∠QOA=1800-∠BOA=300∵OP、OQ是同一点引出的圆的两条切线，A是圆心，∴∠AOP=∠QOA=300，∠QOP=2∠QOA=600，∠BOP=1800-∠QOP=1200，

8、OP

9、=

10、OA

11、cos∠AOP=∴所求的复数Z=五．

12、（本题满分12分）已知抛物线y2=x+1，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP:PA=1:2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个轨迹为那种曲线解：设点B的坐标（X,Y)，点P的坐标为（x,y)，则YB·PAOX因此轨迹为抛物线六．（本题满分10分）甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两个公司各承包2项，问共有多少种承包方式略解：共有：（种）（注：原解答要求分步说明，直接给出上式只给8分）七．（本题满分12分）已知sinA+sin3A

13、+sin5A=,cosA+cos3A+cos5A=b.求证：（1）当b≠时，tg3A=.(2)证：由已知sinA+sin3A+sin5A=,利用和差化积公式得2sin3Acos2A+sin3A=,∴sin3A(1+2cos2A)=,①又由已知cosA+cos3A+cos5A=b，利用和差化积公式得2cos3Acos2A+cos3A=b,∴cos3A(1+2cos2A)=b,②当b≠时，①÷②得从而证得tg3A=.又①2+②2得sin23A(1+2cos2A)2+cos23A(1+2cos2A)2=2+b2,∴(1+2

14、cos2A)2(sin23A+cos23A)=2+b2,∴八．（本题满分12分）已知数列{n},其中且当n≥3时，（1）求数列{n}的通项公式（2）求解：（1）设则由已知条件得所以数列{n}组成了一个公比为的等比数列，其首项