全国初中数学竞赛决赛试卷及其答案(2011)

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1、全国初中数学竞赛决赛试卷及答案（2011年）一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．一个凸多边形的每一个内角都等于150°，则这个凸多边形所有对角线的条数总共有（）A．42条B．54条C．66条D．78条2．如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD交BC于E．若∠CAE＝15°，则∠BOE＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°3．设方程的两根是c，d，则方程的分根是（）A．a，bB．－a，－bC．c，dD．－c，－d4．若不等式有解，则实数a的最小值是（）A．1B．2C．4D．65．若一个三角形的任意两条边都不相等，则称它为“不规则三角形”．用一个正

2、方体上的任意三个顶点构成的所有三角形中，“不规则三角形”的个数是（）A．18B．24C．30D．366．不定方程的正整数解（x，y）的组数是（）A．0组B．2组C．4组D．无穷多组．二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）本题共有4小题，要求直接将答案写在横线上．1．二次函数的图象关于直线x=1对称，则y的最小值是__________．2．已知，则的值为_____________．3．已知△ABC中，AB＝，BC＝6，CA＝，点M是BC的中点，过点B作AM延长线的垂线，垂足为D，则线段BD的长度是_______________．4．一次棋赛，有n个女选手和9n个男选手参赛

3、，每位选手都与其余10n－1个选手各对局一次．计分方式为：胜者得2分，负者得0分，平局各得1分．比赛结束后统计发现，所有男选手的得分总和是所有女选手得分总和的4倍．则n的所有可能值是__________．三、解答题（本题共三小题，第1题20分，第2、3题各25分）1．（本题满分20分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程的两个实数根，使得成立．求实数a的所有可能值．2．（本题满分25分）抛物线的图象与x轴有两个交点M（x1，0），N（x2，0），且经过点A（0，1），其中0

4、，且S△BMN=S△AMN．求该抛物线的解析式．3．（本题满分25分）如图，AD、AH分别是△ABC（其中AB>AC）的角平分线、高线，M是AD的中点．△MDH的外接圆交CM于E．求证：∠AEB＝90°．参考答案一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1、B2、D3、A4、C5、B6、A二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、12、03、4、1三、解答题（本题共三小题，第1题20分，第2、3题各25分）1、（本题满分20分）已知是关于的一元二次方程的两个实数根，使得成立。求实数的所有可能值。`解：由条件知，解得或．（5分）又由根与系数的关系知，，于是，（10分）由，解得

5、（舍去）或．（15分）于是．综上所述，所求的实数．（20分）2、（本题满分25分）抛物线的图象与轴有两个交点，且经过点，其中．过点的直线与轴交于点，与抛物线交于点（异于点），满足是等腰直角三角形，且．求该抛物线的解析式．解：由条件知该抛物线开口向上，与的两个交点在轴的右侧．由于是等腰直角三角形，故点在轴的左侧，且．故，从而，．（5分）于是直线的方程为：．设，由知，（10分）从而，即．（15分）综上可知，该抛物线通过点，，．于是，（20分）解得．所以所求抛物线的解析式为．（25分）3、（本题满分25分）如图，、分别是（其中）的角平分线、高线，是的中点．的外接圆交于．求证：．证

6、明：如图，连结,∵是斜边的中点∴（5分）∴∵四点共圆∴∴∴（10分）∵,∴∽∴,即（15分）∴,又∵∴∽,∴（20分）∴∴四点共圆，∴.（25分）