2006年全国初中数学竞赛决赛试题参考答案

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1、2006年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分.以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填得零分）1．在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪．刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（）.（A）36（B）37（C）55（D）90答：C．解：因为4和9的最小公倍数为36，19＋36＝55，所以第二次

2、同时经过这两种设施是在55千米处.故选C．2．已知，，且，则的值等于（）（A）－5（B）5（C）－9（D）9答：C．解：由已知可得，．又，所以，解得．故选C．3．Rt△ABC的三个顶点，，均在抛物线上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为，则（）（A）（B）（C）（D）答：B．解：设点A的坐标为，点C的坐标为（），则点B的坐标为，由勾股定理，得，，，9所以．由于，所以，故斜边AB上高．故选B．4．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分

3、中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（）（A）2004（B）2005（C）2006（D）2007答：B．解：根据题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，每剪开一次，使得各部分的内角和增加360°．于是，剪过次后，可得（＋1）个多边形，这些多边形的内角和为（＋1）×360°．因为这（＋1）个多边形中有34个六十二边形，它们的内角和为34×（62－2）×180°=34×60×180°，其余多边形有（＋1）－34＝－33（个），而这些多边形

4、的内角和不少于（－33）×180°．所以（＋1）×360°≥34×60×180°＋（－33）×180°，解得≥2005．当我们按如下的方式剪2005刀时，可以得到符合条件的结论．先从正方形上剪下1个三角形，得到1个三角形和1个五边形；再在五边形上剪下1个三角形，得到2个三角形和1个六边形……如此下去，剪了58刀后，得到58个三角形和1个六十二边形．再取出33个三角形，在每个三角形上剪一刀，又可得到33个三角形和33个四边形，对这33个四边形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便得到33个六十二边形和33×58个三角形．于是共剪了58

5、＋33＋33×58＝2005（刀）．故选B．5．如图，正方形内接于⊙，点在劣弧上，连结，交于点．若，则的值为（）（A）（B）（C）（D）9（第5题图）答：D．解：如图，设⊙的半径为，，则，，．在⊙中，根据相交弦定理，得．即，所以．连结DO，由勾股定理，得，即，解得．所以，．故选D．二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．已知，，为整数，且＋＝2006，＝2005．若＜，则＋＋的最大值为．答：5013．解：由＋＝2006，＝2005，得＋＋＝＋4011．因为＋＝2006，＜，为整数，所以，的最大值为1002．于是，＋＋的最大

6、值为5013．7．如图，面积为的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c是整数，且b不能被任何质数的平方整除，则的值等于.9（第7题图）答：．解：设正方形DEFG的边长为x，正三角形ABC的边长为m，则．由△ADG∽△ABC，可得，解得．于是，由题意，a＝28，b＝3,c＝48，所以.8．正五边形广场ABCDE的周长为2000米．甲、乙两人分别从A，C两点同时出发，沿A→B→C→D→E→A→…方向绕广场行走，甲的速度为50米∕分，乙的速度为46米∕分.那么，出发后经过分钟，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上．答

7、：104．解：设甲走完x条边时，甲、乙两人第一次开始行走在同一条边上，此时甲走了400x米，乙走了米．于是，且≤，所以，≤＜．故x=13，此时．9．已知，且满足（表示不超过x的最大整数），则的值等于．答：6．解：因为，所以，，…，等于0或者1．由题设知，其中有18个等于1，所以9＝＝…＝＝0，＝＝…＝＝1，所以，≤＜．故≤＜，于是≤＜，所以6．10．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，他家两次升位

8、后的电话号码的八位数，恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是．答：282500．解：设原来电话号码的六位数为，则经过两次升位后电话号码的八位数为．根据题意，有81×＝．记，于是，解得．因为≤≤，所以≤＜，故＜≤．因