《圆的方程》学案9（新人教A版必修2）

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1、《直线与圆的方程》复习指导(二)一热点剖析直线与圆是最基本的图形，有关直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系的题型在考试中出现较多.空间直角坐标系及空间两点之间的距离常与空间向量结合出现.与圆有关的应用问题也是考查的热点，既有基本知识的应用，又有综合运用知识分析问题、解决问题的综合应用.的方程1.确定圆的方程的条件圆的标准方程(x-tz)当£>2+E2-4F>0时，方程(*)表示以f-—1为圆心，丄如+£2_4F为I22丿2半径的圆；当D2+E2-4F=O0'J-,方程(*)表示点-匕上；I22；当D2+E2-4

2、F<0时，方程(*)没有实根，因此它不表示任何图形.当方程(*)表示圆时,我们把它叫做圆的一般方程，确定它需要三个独立条件DE,F,且£>24-£2-4F>0,这就确定了求圆的方程的方法一一待定系数法.注意：用待定系数法求圆的方程，用一般形式比用标准形式在运算上简单，前者解的是三元一次方程组，后者解的是三元二次方程组.4.直线与圆的位置关系有三种，即相交、相切和相离，判定的方法有两种(1)代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来研究.若有两组不同的实数解，即△>(),则相交；若有两组相同的实

3、数解，即△=(),则相切；若无实数解,即△<(),则相离.(2)几何法:由圆心到直线的距离d与半径厂的大小来判断:当dvr时,直线与圆相交;+(y-Z?)2=r2中，有三个参数d,b,r,只要求出d,b,r,圆的方程就被确定.因此确定圆方程，需三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件.确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a,b,厂的方程组求a,b,尸，或直接求出圆心(°,历和半径八一般步骤为：(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2；(2)根据已知条件，建

4、立关于a,b,厂的方程组；(3)解方程组.求出a,b,厂的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.2.点%)与圆的位置关系若(x0-«)2+(y0-^)2=r2,则点P在圆上；若(x0-«)2+(y0-/7)2>r2,则点P在圆外;若(x0-a)2+(y0-fe)2

5、而是用儿何法.5.直线与圆相切，切线的求法(1)当点y())在圆x2+y2=r±时，切线方程为+yQy-r2；(2)当点Pg，儿)在圆(x-a)2+(y-i)2=r2±,则切线方程为(xQ-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r；(3)斜率为R且与圆/+y2=厂2相切的切线方程为y=kx±厂、.提示：斜率为k且与圆(x-a)2-^-(y-b)2=r2相切的切线方程的求法，可以设切线为y=kx+m，然后变成一般式kx-y+m=Of利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求加.(1)点儿)在圆外，则设切线的方程为y

6、-y()=k(x-xQ),变成一般式后,利用圆心到直线的距离等于半径，解出R,注意若此方程只有一个实根，则还有一条斜率不存在的直线，不要忽略.6.圆与圆的位置关系从交点个数，也就是方程组的解的个数來判断，有时得不到确切的结论•比如两圆只有一个交点时，虽然相切，但是是外切还是内切就很难分清楚.所以判断两圆的位置关系.通常还是从圆心距与两圆半径的关系下手，设两圆的圆心分别为a，。2,半径分别为斤，“，圆心距

7、0]02

8、=d,则两圆相离od＞斤+⑪；两圆外切od=rx--r2；两圆相交-引vdv斤+口；两圆内切od

9、=

10、斤一引；两圆内含u＞0-引；两圆是同心圆od=().7.直线和圆的方程的应用用坐标法解决几何问题吋，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，然后对坐标和方程进行代数运算，最后把代数运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论，这就是用坐标法解决几何问题的“三部曲”.第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题屮涉及的儿何元素.将平面儿何问题转化为代数问题.第二步：通过代数运算，解决代数问题.笫三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.三空间直角坐标系1.空间直角坐标系的建立(1)在数轴上，一个实数

11、就能确定一个点的位置；在坐标平面上，--对有序实数3y))才能确定一个点的位置；在空间确定一个点的位置需要三个实数，如要确定一架飞机在空中的位置，我们不仅要指出地面的经度、纬度，还需要指出飞机距地面的高度.如右图，OABC_A£GDi是单位正方体，以0为原点，分别以射线04,0C,0Q的方向为正方向，以线段0人的长为单位长，建立三条数轴：无轴、y轴、z轴，这时我们说建立了一个空I'可直