金融数学沈潇24

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1、ANGSUUNIVERSITY金融数学作业英语翻译金融数学第二卷2.1-2.2学院名称：理学院专业班级：应数国际1201学生姓名：沈潇学生学号：31201120242015年11月2.1信息和。-代数衍生证券的无套利定价理论是基于一系列应对方案的。为了对衍生证券进行定价，我们要确定建立该衍生证券空头的对冲资产组合所需要的初始财富。在未来的每一时刻，我们根据从现在到未来时刻Z间不确定性的逐步化解，相对调整对冲组合中原生资产的头寸。为了做出这些应対方案，需要对未来我们的决策所依据的信息进行数学建模。在二叉

2、树模型中，信息就是从初始时刻到未来时刻的硬币抛掷结果。对于连续时间模型，需要某些更为复杂的方法来刻划信息的概念。我们总是设想在进行某个随机试验，其结果是所有可能结果的集合Q中的一个元素3。我们可能获知一些信息，虽不足以确切地得知3,但可以逐步虽小可能结果的范围。例如，真实的3也许是三次抛掷硬币的结果，而我们仅知晓第一次结果。或者也许我们被告知在时刻2的股价，但并不知道任何有关硬币抛掷的结果。在这样的情况下,虽然我们并不确切地知道真实的3，但我们可以列岀那些肯定包含3的集合以及肯定不含3的集合.这集合依

3、信息分解得到的集合。事实上，假设Q是三次硬币抛掷的8个可能结果的集合。如果我们仅知晓第一次结果，则有以下分解：4h={HHH,HHT,HTH,HTT},為二{THH,THT,TTH,TTT}一旦知晓第一次抛硬币结果，我们就能知道真实的3是上述那一个集合中的元素。即使没有任何信息，我们总是知道真实的3不属于空集①，并且一定属于全空间Q。依第一次抛掷硬币结果分解得到的这四个几何构成。-代数鬥={①，Q,A^p}我们认为这个。-代数包含了由第一次硬币抛掷结果给出的信息。确切的说，如果我们不是被告知第一次抛掷

4、硬币的结果，而被告知对F1中每一个集合，真实的3是否属于该集合，则我们就能知道第一次硬币抛掷的结果，而且无法知道更多的信息。如果我们被告知前两次抛掷硬币的结果，则可以得到更精细的分解。尤其是可得到以下4个集合：Ahh二{HHH,HHT},4肮二{HTH,HTT},XTH={THH,THT},4th={TTH,TTT)当然F］中的集合仍可以得到。由分解得到的任一集合的余集也可得到，从而简H，街「的H和街T都可以得到。任何两个由分解的到集合的并集仍可得到，这意味着4hhUArt，^hhU力tt，^thU4

5、htU4tt都可以得到。我们注意到,另两个并集Ah二AhhU4ht和力t二力thU/Itt已经得到。至于3个集合的并集，他们是上述提及的集合的余集，例如：^hhU川盯Ui4TH=i4yT如果我们被告知所有三次抛掷硬币结果，我们就知晓了真是的3，这是Q的所有子集就由分解得到。Q共有256个子集，他们的全体构尸3二Q所有了集的全体如果我们未被告知有关硬币抛掷的任何信息，就只能得到空集①和全空间Q。这两个集合构成所谓平凡的o-代数F°：Fq~｛①，Q｝我们已经有了（按时间标序的）四个。-代数F。，F,F2

6、和鸟。随着时间的进展，得到的分解愈加精细。换言之，如果nVni,则爲包括了绘中的所有集合，甚至更多。这意味着冷包含了比他更多的信息。这样一族。-代数F。，F],F2和鸟是域流的一个例了。以下是连续吋间情形下域流的定义。定义2.1.1设Q是非空集合。设T是固定的正数，并且对每一个te[0,T],有一个0-代数F（t）。进一步假定:如果sWt,则卩⑹中的所有事件都在F（t）中，则称。-代数族尸⑷，OWtWT是一个流域。流域告诉我们在未来吋刻将获得的信息。确切的说，到时刻t,我们就能知道对F（t）中的每一个

7、集合，真实的Q是否属于该集合。例2.1.2设样本空间Q二C°[0,T],这是定义在[0,T]上，在时刻0取零值的连续函数的集合。人去其屮一个函数厉，并且观测它直到吋刻t,其中0WtWT。也就是说，对于0WsWt,我们知道厉幺）的值；但对于tVsWT,我们不知道厉（S）的值。某些Q的子集可依直到shiket的信息分解得到，例如集合｛aWQ；max00｝（如果t

8、在时刻t能由分解得到的集合恰是那些能够由直到时刻t的路径3描述的集合。至叩寸刻T,Q二C°[0,T]中没一个合理的子集都可由分解得到。在时刻0,我们仅知道厉（°）[由Q的定义，厉(0)=0］.我们无法知道通过观测才能获得的有关选取厉的随机试验的任何结果。在时刻0,可以得到的只有①和Q。因此F(o)=｛®，Q｝。例2.1.2提供了一个可以构造布朗运动的最简单的情形。只要对F二F⑴中的集合指定概率，则QGC°［0,T］就将是布朗运动的路径。定义2.1.1前面