高中数学常识点总结_导数的定义及几何意义

《高中数学常识点总结_导数的定义及几何意义》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、导数的定义及几何意义1・f(兀0)=lim.f(x()+Ax)—/(x())Ar叫函数y=f（x）在x-＞兀（）处的导数，记作y'lA.=ro注：①函数应在点勺的附近有定义，否则导数不存在。②在定义导数的极限式中，心趋近于0可正、可负、但不为0,而Ay可能为0。③直•是函数y=/（兀）对自变量兀在心范围Ax内的平均变化率，它的几何意义是过曲线歹=/（兀）上点（Xq,/（x0））及点（xq+Ax,f（x0+Ax0））的割线斜率。④导数厂（x（））=Hm/（"）+心）_/（人））是函数歹=于（兀）在心-＞（）Ax,&、x（）的处瞬时变化率，它反映

2、的函数y=/（x）在兀0点处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线y=f（X）上点（Xo,/（Xo））处的切线的斜率。⑤若极限lim心+山）-不心-＞（）Ax存在，则称函数y=/（x）在点兀0处不可导。⑥如果函数y=/（x）在开区间（d,b）内每一点都有导数，则称函数y=/（x）在开区间（a,b）内可导；此时对于每一个xE（a,b）,都对应着一个确定的导数f'（x）,从而构成了一个新的函数/z（x）,称这个函数/'（X）为函数y=/（x）在开区间（a,b）内的导函数，简称导数；导数与导函数都称为导数，这要加以区分:求一个函数的导数，就是求导函数；

3、求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。［举例1］若厂（兀。）=2,则

4、im/（x（）-^）-/Uo）等于：z2k（A）-l（B）-2（C）1（D）1/2解析：•••厂凤）=2,即lim+（一幻】一心。）=2=恤/偽-幻7（勺）口。uto_k52k［举例2］已知a＞O,z?为正整数•设y=(x-a)n,证明y'=n(x-a)n^［解析：本题可以对y=（x-a）n展开后“逐项”求导证明；这里用导数的定义证明:yz=limAa*-»O(x+tx—ci)n—(x—ci)1ArI，(兀一a)"4-(x—ci)n1+C~(x—ci)n+—C；：(A

5、x)"—(x—ci)n&->()Ar,.n(x-a)心心+C；(x-a)"(Ax)2+…+C；；(Ax)z,lim=心toAxlim［n{x一a)"T+C；(x-aY'2心+C；(x一。)心(心尸+…+C：(Ax)/,_,］=n(x-a)"“。Axt()［巩固1］一质点作曲线运动，它的位移S与时间广的关系为：S=^-+2t2，试用导数的定义求t=3时的速度。［巩固2］设C是成本，q是产量，成本少产量的函数关系式为C=C(q),当产量为％时，产量变化Aq对成本的影响可用增量比竺=((%")-5)刻划如果无限趋△qq近于0时，竺无限趋近于常数A

6、,经济学上称A为边际成本.它表明当产量为％时，增△g加单位产量需付出成本A(这是实际付出成本的一个近似值)。设生产x个单位产晶的总成兀2本函数是C(x)=8+—,则生产8个单位产站吋，边际成本是：()8A.2B.8C.10D.162.常用导数公式：c*=0,(xny=nxn~(exY=ex,(lnx)z=导数的运算法则：若函数/•(兀)与g(x)的导数存在,则［f(x)±g(x)T=f,(x)±g,(x)9［c/(x)r=c./*W>U'MgMY=f/MgM+fa)g/M>(但)、止2斗血3(这个公式很容易记错，注意和“积的导数”对比)；g

7、Mg⑴复合函数的导数：由y=.f(")与u=(p(兀)得到复合函数y=fb(x)］,则儿二儿.。［举例1］已知/⑴=⑴―兀，则厂(2)=。解析：/z(l)是常数，・・・//(x)=3F+2^/(1)—1=>//(1)=3+2//(1)-1=>/z(l)=-2：.f/(x)=3x2-4x-f故/z(2)=3o［举例2eN+，C：+2C；+3C；+・・・+nC；；=。解析：本题可以用“倒序相加”法，也可以用“通项变化”法(kC；=nC；［)；这里，我们观察(1+x)n=C：+Cx+C>2+C>3+•••+C^xn①，不难发现其通J页CM求

8、导示的系数正是所求“项”；故考虑对①式两边同求导数，得：/2(1+x)M=C+2C：x+3C>2+•••+nC：严,令兀=1得：C：+2C；+3C；+・・・+MR・2"［巩固1］已/(x)=x-1—In2x+2aInx(x>0).令F(x)=xfr(x),则Fz(x)=。［巩固2］己知函数/(x)=(x+1)(2%+1)(3%+!)•••(hx+1),则//(0)的值为：A.C；B.C；+1C.A；D.心2.函数f(x)在x=xQ处的导数广(兀。)的几何意义：曲线C:y=/(%)在其上点P(兀°,y0)处的切线的斜率。用导数研究切线问题，切

9、点是关键(切点在切线上、切点在曲线上、切点横坐标的导函数值为切线斜率)。_1_［举例1］曲线y=e?V在点(4,e?)处的切线与处标轴所围三角形的而积为()9A.—