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1、3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例12013年上海市黄浦区中考模拟第24题已知二次函数y=-x2+bx+c的图像经过点P(0,1)与2(2,-3).(1)求此二次函数的解析式；(2)若点4是第一象限内该二次函数图像上一点，过点4作x轴的平行线交二次函数图像于点分别过点3、A作兀轴的垂线，垂足分别为C、D,所得四边形ABCD恰为正方形.①求正方形的ABCD的面积；②联结用、PD,PD交AB于点、E,求证：'PADs'PEA.动感体验请打开儿何画板文件名“13黄浦24”，拖动点4在第--象限内的抛物线上运动，可以体验到，ZPAE与ZPD4总保持相等，与△PE4保持相似.请打开超级
2、画板文件名“13黄浦24”，拖动点A在第一彖限内的抛物线上运动，可以体验到，ZPAE与"DA总保持相等，△明D与△PE4保持相似.思路点拨1.数形结合，用抛物线的解析式表示点A的坐标，用点A的坐标表示AD.A3的长，当四边形ABCD是止方形时，AD=AB.2.通过计算ZPAE^ZDPO的正切值，得到ZPAE=ZDPO=ZPDA,从而证明s满分解答(1)将点P(o,1)、2(2,一3)分别代入y=—H+bx+c,得[日解得产0，-4+2b+l=-3.[c=1.所以该二次函数的解析式为y=-x2+l.(2)①如图1,设点A的坐标为(x,-x2+l),当四边形ABCD恰为正方形时，AD=A
3、3.此时)%=力人・解方程一%2+1=2x,Mx=—1±5/2.所以点A的横坐标为V2-1.因此正方形ABCD的面积等于[2(V2-I)]2=12-8^2.所以tan"化存窘："-1・又因为tanZPDA=tanZDPO=-=^2-,OP所以ZPAE=ZPDA.又因为ZP公用，所以△PADs'PEA.考点伸展事实上，对于矩形4BCD,总有结论厶PAD^/XPEA.证明如下：如图2,设点A的坐标为(x,-x2+l),那么PF=OP-OF=1-(-x2+l)=x2.,PFx2所以tanZPAE==—=x•AFx又因为tanZPDA=tanZDPO=—=x,OP所以ZPAE=ZPDA.因
4、此PADspeA.例22013年江西省中考第24题某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质吋，经历了如下过程：(1)操作发现：在等瞼屮，AB=AC,分别以AB、4C为斜边，向ZVIBC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF丄43于点F,EG丄AC于点G,M是BC的中点，连结MD和ME,则下列结论正确的是(填序号即可).®AF=AG=-AB②MD=ME；③整个图形是轴对•称图形；④MD丄ME.2(2)数学思考：在任意△4BC中，分别以AB.AC为斜边，向△4BC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是3C的中点，连结MD和ME,则MD与ME冇怎样的数量关系？请给出证明过
5、程；(3)类比探究：在任意△ABC•!',仍分别以A3、AC为斜边，向△ABC的内侧作等艘直角三角形，如图3所示，M是BC的屮点，连结MD和ME,试判断△"£>£的形状.答：.A图1动感体验请打开几何画板文件名“13江西24”，拖动点A可以改变△ABC的形状，可以体验到,'DFM竺'MGE保持不变，ZDME=ZDFA=ZEGA保持不变.请打开超级画板文件名“13江西24”，拖动点A可以改变/XABC的形状，可以体验到,△DFM9ZXMGE保持不变，ADME=ZDFA=ZEGA保持不变.思路点拨1.本题图形中的线条错综复杂，怎样寻找数量关系和位置关系？授好的建议是按照题意把图形规范、准
6、确地重新画一遍.2.三个中点M、F、G的作用重大，既能产生中位线，乂是总角三角形斜边上的中线.3.两组中位线构成了平行四边形，由此相等的角都标注出来，还能组合出那些相等的角？满分解答(1)填写序号①②③④.(2)如图4,作DF丄AB,EG丄AC,垂足分别为F、G.因为DF、EG分别是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE斜边上的高,所以F、G分别是AB、AC的屮点.乂己知M是BC的小点，所以MF、MG是zMBC的中位线.所以MF=-AC,MG=-ABfMFIIAC,MGIIAB.22所以ZBFM=ZBAC,ZMGC=ZBAC.所以上BFM=/MGC・所以上DFM=/MGE・因为D
7、F、EG分别是肓角三角形ABD和肓角三角形ACE斜边上的屮线，所以EG=-ACfDF=-AB.22所以MF=EG,DF=NG.所以△DFM竺/MGE.所以(3)AMDE是等腰宜角三角形.考点伸展笫(2)题和笫(3)题证明△DFM竺AMGE的思、路是相同的，不同的是证明ZDFM=ZMGE的过程有一些不同.如图4,如图5,ZBFM=ZBAC=ZMGC.如图4,ZDFM=90°+ZBFM,ZMGE=90°+ZMGC,所以ZDFM=ZMGE.如图5,ZDFM=9
