2几何证明及通过几何计算进行说理问题

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1、智浪教育--普惠英才文库3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例12017年杭州市中考第22题如图1，在△ABC中，BC＞AC，∠ACB＝90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．（1）若，AE＝2，求EC的长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F、C、G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高还是中线？或两者都有可能？请说明理由．图1智浪教育--普惠英才文库例22017年安徽省中考第23题如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上的一动点，过P作PM//AB交AF于M，作PN//CD交

2、DE于N．（1）①∠MPN＝_______°；②求证：PM＋PN＝3a；（2）如图2，点O是AD的中点，联结OM、ON．求证：OM＝ON．（3）如图3，点O是AD的中点，OG平分∠MON，判断四边形OMGN是否为特殊的四边形，并说明理由．图1图2图3智浪教育--普惠英才文库例32018年上海市黄浦区中考模拟第24题已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过点P(0,1)与Q(2,－3)．（1）求此二次函数的解析式；（2）若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形

3、ABCD恰为正方形．①求正方形的ABCD的面积；②联结PA、PD，PD交AB于点E，求证：△PAD∽△PEA．智浪教育--普惠英才文库3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题答案例12017年杭州市中考第22题如图1，在△ABC中，BC＞AC，∠ACB＝90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．（1）若，AE＝2，求EC的长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F、C、G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高还是中线？或两者都有可能？请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“15杭州22”，拖动

4、点D在AB上运动，可以体验到，CP既可以是△CFG的高，也可以是△CFG的中线．思路点拨1．△CFG与△EDC都是直角三角形，有一个锐角相等，分两种情况．2．高和中线是直角三角形的两条典型线，各自联系着典型的定理，一个是直角三角形的两锐角互余，一个是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．3．根据等角的余角相等，把图形中相等的角都标记出来．满分解答（1）由∠ACB＝90°，DE⊥AC，得DE//BC．所以．所以．解得EC＝6．（2）△CFG与△EDC都是直角三角形，有一个锐角相等，分两种情况：①如图2，当∠1＝∠2时，由于∠2与∠3互余，所以∠2与∠3也互余．

5、因此∠CPF＝90°．所以CP是△CFG的高．②如图3，当∠1＝∠3时，PF＝PC．又因为∠1与∠4互余，∠3与∠2互余，所以∠4＝∠2．所以PC＝PG．所以PF＝PC＝PG．所以CP是△CFG的中线．综合①、②，当CD是∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的高，也是中线（如图4）．图2图3图4智浪教育--普惠英才文库考点伸展这道条件变换的题目，不由得勾起了我们的记忆：如图5，在△ABC中，点D是AB边上的一个动点，DE//BC交AC于E，DF//AC交BC于F，那么四边形CEDF是平行四边形．如图6，当CD平分∠ACB时，四边形CEDF是菱形．图5图6如图

6、7，当∠ACB＝90°，四边形CEDF是矩形．如图8，当∠ACB＝90°，CD平分∠ACB时，四边形CEDF是正方形．图7图8智浪教育--普惠英才文库例22017年安徽省中考第23题如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上的一动点，过P作PM//AB交AF于M，作PN//CD交DE于N．（1）①∠MPN＝_______°；②求证：PM＋PN＝3a；（2）如图2，点O是AD的中点，联结OM、ON．求证：OM＝ON．（3）如图3，点O是AD的中点，OG平分∠MON，判断四边形OMGN是否为特殊的四边形，并说明理由．图1图2图3动感体验请打开几何画板文

7、件名“14安徽23”，拖动点P运动，可以体验到，PM＋PN等于正六边形的3条边长．△AOM≌△BOP，△COP≌△DON，所以OM＝OP＝ON．还可以体验到，△MOG与△NOG是两个全等的等边三角形，四边形OMGN是菱形．思路点拨1．第（1）题的思路是，把PM＋PN转化到同一条直线上．2．第（2）题的思路是，以O为圆心，OM为半径画圆，这个圆经过点N、P．于是想到联结OP，这样就出现了两对全等三角形．3．第（3）题直觉告诉我们，四边形OMGN是菱形．如果你直觉△MOG与△NOG是等边三角形，那么矛盾就是如何证明∠MON＝120°．满分解答（1）①∠MPN＝6

8、0°．②如图4，延长FA、ED交直线BC与M′、N′