三、数列求和专项练习高考题(含知识点)——学生版

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1、数列的前n项求和的求法1•公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必耍时需分类讨论.；③常用公式：1+2+3+•••+/?=in（n+l）,l2+22+---+/r=ln（n+l）（2/?+l）,F+2?+3?+•••+宀［"佇片.2o2例1、已知logsx=,求兀+兀2+F兀"—的前n项和.log23解：由logs兀=>log3x=-log32=>x=—log232由等比数列求和公式得S“=%+•?+/+...+兀"（利用常用公式）1（1_J_）—兀（1

2、一疋）_2（

3、2丿_1一1ItJ2〃22•分组求禾口法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.例2、求数列的询n项和：1+1,丄+4,丄+7,…，丄+3〃一2,…aa2an~'解：设s“=（1+1）+（丄+4）+（亠+7）+・・・+（厶+3/?-2）aera将其每一项拆开再重新组合得Sn=（1+丄+—+•••+厶）+（1+4+7+…+3n—2）（分组）acran当an时，5（分组求和）221一丄1当心1时，s”二卡+凹丸=口2+旦口如”J2a-i2a3.倒序相加法：若和式屮

4、到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥具共性的作用求和（这也是等差数列前斤和公式的推导方法）.例3、求sin21°+sin22°+sin?3°+…+sin288°+sin289°的值解：设S=sin2T+sin22°+sin23°+•••+sin288+sin289°①将①式右边反序得S=sin289°+sin288°+•••4-sin23°+sin22°+sin21°②(反序)又因为sinx=cos(90-x),sin2x+cos2x=1①+②得(反序相加)25二(si

5、n2l°+cos2r)+(sin22°+cos22°)+---+(sin289°+cos289°)=89.・・s=44.54.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）.例4、求和：S”=1+3兀+5兀2+7疋+…+（2刃一1）兀①解：由题可知,｛（2—1）严｝的通项是等差数列｛2n—l｝的通项与等比数列｛严｝的通项之积设xS”=1x+3x2+5x3+7x4+•••+(2/2-1)xh②(设制错位)①一②得(1一x)S”—1+2x

6、+2x~++2%4+…+2兀"1—(2/?—1)兀"(错位相减)-再利用等比数列的求和公式得：(l-x)Sn=1+2兀・——(2n-l)xn1-x(2/7-l)xM+,-(In+l)xft+(1+X)••为(1-兀尸246例5、求数列一,一—,—，…,一，…前n项的和.222232"2/71解：由题可知，｛—｝的通项是等差数列｛2n｝的通项与等比数列｛=｝的通项Z积22、八°2462n攻S=17F1“22223T12462n—S—11+2"2223242曲—1^22222In①一②得(1--)5„=空+尹+尹+卫+…+

7、小12〃=2——2〃+22n（设制错位）n-2"+12n2n+i（错位相减）•:S=4—5•裂项*目;肖法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和•常用裂项形式有：①一-—=-——・②——-——=-(-——)；n(n+1)nn+1*n(n+k)knn+k八I11z1111111II③一<—；=—(),=<-<=;k2k2-l2k-R+lkk+1(k+V)kk2(k_V)kk-1k1lr11.H11斤(斤+1)("+2)27?(〃+1)(“+1)02+2)(n+1)!n

8、(h+1)!⑥2(Vn+1=—j=―2

9、+1n+1n+12211・・・bn==8()(裂项)nn+ln斤+1・・・数列｛*｝的前n项和S”=8[(1—£)+d)+(»+.・.+(丄)](裂项求和)22334n+1=8(1/7+1n+16•通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。例8、求1+11+111+・・+111・・・1之和.