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时间:2019-05-02
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1、温馨提示:此题库为Word版,请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适的观看比例,关闭Word文档返回原板块。[来源:学科网]考点15数列求和1.(2010·天津高考理科·T6)已知是首项为1的等比数列,是的前n项和,且,则数列的前5项和为()(A)或5(B)或5(C)(D)【命题立意】考查等比数列的通项公式、前n项和公式.【思路点拨】求出数列的通项公式是关键.【规范解答】选C.设,则,即,,.2.(2010·天津高考文科·T15)设{an}是等比数列,公比,Sn为{an}的前n项和.记设为数列{}的最大项,则=.【命题立意】考查等比数列
2、的通项公式、前n项和、基本不等式等基础知识.【思路点拨】化简利用基本不等式求最值.【规范解答】∴∵当且仅当即,所以当n=4,即时,最大.【答案】43.(2010·安徽高考理科·T20)设数列中的每一项都不为0.证明:为等差数列的充分必要条件是:对任何,都有.【命题立意】本题主要考查等差数列与充要条件等知识,考查考生推理论证,运算求解能力.【思路点拨】证明可分为两步,先证明必要性,适宜采用列项相消法,再证明充分性,可采用数学归纳法或综合法.【规范解答】已知数列中的每一项都不为0,先证若数列为等差数列,设公差为,当时,有,即对任何,有成立;
3、当时,显然也成立.再证对任意,有①,②,由②-①得:-上式两端同乘,得③,同理可得④,由③-④得:,所以为等差数列.【方法技巧】1、在进行数列求和问题时,要善于观察关系式特点,进行适当的变形,如分组、裂项等,转化为常见的类型进行求和;[来源:学+科+网Z+X+X+K]2、对数列中的含n的式子,注意可以把式子中的n换为或得到相关的式子,再进行化简变形处理;也可以把n取自然数中的具体的数1,2,3…等,得到一些等式归纳证明.4.(2010·山东高考理科·T18)已知等差数列满足:,,的前n项和为.(1)求及.(2)令(nN*),求数列的前n
4、项和.【命题立意】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和,考查了考生的逻辑推理、等价变形和运算求解能力.【思路点拨】(1)设出首项和公差,根据已知条件构造方程组可求出首项和公差,进而求出求及;(2)由(1)求出的通项公式,再根据通项的特点选择求和的方法.【规范解答】(1)设等差数列的公差为d,因为,,所以有所以;==.(2)由(1)知,所以bn===,所以==,即数列的前n项和=.【方法技巧】数列求和的常用方法:1、直接由等差、等比数列的求和公式求和,注意对公比的讨论.2、错位相减法:主要用于一个等差数列与一个
5、等比数列对应项相乘所得的数列的求和,即等比数列求和公式的推导过程的推广.[来源:Z#xx#k.Com]3、分组转化法:把数列的每一项分成两项,使其转化为几个等差、等比数列,再求解.4、裂项相消法:主要用于通项为分式的形式,通项拆成两项之差求和,正负项相消剩下首尾若干项,注意一般情况下剩下正负项个数相同.5、倒序相加法:把数列正着写和倒着写相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广).5.(2010·安徽高考文科·T21)设是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在轴的正半轴上,且都与直线相切,对每一个正整数,圆都与圆相互外切,以表示的半径,已知
6、为递增数列.(1)证明:为等比数列;(2)设,求数列的前项和.【命题立意】本题主要考查等比数列的基本知识,利用错位相减法求和等基本方法,考查考生的抽象概括能力以及推理论证能力.【思路点拨】(1)求直线倾斜角的正弦,设的圆心为,得,同理得,结合两圆相切得圆心距与半径间的关系,得两圆半径之间的关系,即中与的关系,可证明为等比数列.(2)利用(1)的结论求的通项公式,代入数列,然后采用错位相减法求和.【规范解答】[来源:学科网ZXXK]又,.【方法技巧】1、对数列中的含n的式子,注意可以把式子中的n换为或得到相关的式子,再进行化简变形处理;2
7、、在进行数列求和问题时,要善于观察关系式特点,进行适当的处理,如分组、裂项相消、错位相减等,转化为常见的类型进行求和.6.(2010·江苏高考·T19)设各项均为正数的数列的前n项和为,已知,数列是公差为的等差数列.(1)求数列的通项公式(用表示);(2)设为实数,对满足的任意正整数,不等式都成立。求证:的最大值为.【命题立意】本题主要考查等差数列的通项、求和、基本不等式以及不等式的恒成立问题等有关知识,考查探索、分析及论证的能力.【思路点拨】(1)先求,然后利用的关系求解;(2)利用(1)中所求利用基本不等式解决.【规范解答】(1)由
8、题意知:,,化简,得:,当时,,适合的情形.故所求.(2)方法一:,恒成立.又,,故,即的最大值为.方法二:由及,得,.于是,对满足题设的,,有.所以的最大值方法三:任取实数.设为偶数,令,则符合条件,且.
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