命题逻辑的公理系统-进一步的讨论1

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1、[关于形式化的讨论]第2、3章证明了每—命题形式都可以通过等值变换成各种范式用真值表方法和范式，回答了命题逻辑中很多有重要意义的问题，如：判定任一给定的命题形式是不是重言式(常真的)、矛盾式(常假的)；一命题形式是不是另一些命题形式的逻辑后承；两个任给的命题形式是否等值以及如何判定一个推理形式是否正确，等等。但是，真值表方法有它的局限性，它没有把所有的重言式作为一个整体来研究，而逻辑中其它更复杂的部分也不能用真值表方法来处理。公理方法是研究命题逻辑的另外一种方法，通公理方法建立命题逻辑的形式系统——命题演算。[公理系统]从一些公理出发，应用逻辑规则，推导

2、一系列定理，这样形成的演绎体系称为公理系统。欧氏几何就是一个著名的古典公理系统。公理系统首先包括一组特别挑选出来的命题称为公理，也叫作初始命题。公理是不加证明而接受作为系统的出发点的。系统中其余的命题都从公理出发经证明推导出来，称为定理。公理的选择必须满足某些一般的条件，如公理必须明确地规定所包含的概念的意义，并且容易理解；一组公理要能充分地刻划所研究对象的恃征；是协调的(不会导致矛盾的)，等等。在现代公理系统中，选作公理的命题其真实性不一定是最明显的。公理系统包括一组不加定义的概念，称为基本概念或初始概念。其余的概念由基本概念定义，称为派生概念。基本概

3、念的意义由公理明确地陈述和规定。现代公理系统和古典公理系统的一个重大差别是，对于现代公理系统，可以有多种不同的概念都使得公理为真，或者说可以对系统作不同的解释。例如，等价关系理论就是现代公理系统的一个例子。例等价关系理论建立在下面三个公理的基础上（xRy读作“x等价于y”或“x与y等价”）。(E1)对所有x，xRx；(E2)对所有x和y，如果xRy，则yRx；(E3)对所有x，y和z，如果xRy并且yRz，则xRz。令A是一非空集合，R是A中的一个二元关系。二元组＜A，R＞称为一个结构。我们称R是A中的一个等价关系，＜A，R＞是一个等价结构如果公理(E1

4、)-(E3)被满足的话。(E1)-(E3)不是关于某一个特定的等价结构的公理，其中的R可以作不同的解释。例如，以S表示命题形式的集合，把R解释为命题形式之间的等值关系“=”；以自然数集合N为论域，把R解释为自然数的相等关系“=”；以整数集合Z为论域，把aRb解释为a-b能被5整除(记为“R5”)，那么＜S，=＞，＜N，＝＞，＜Z，R5＞都是等价结构。[形式系统]形式系统是完全形式化的公理系统。对公理系统的研究，可以采取两种不同的观点：一种是把公理、定理等等看作是语句，另—种足把公理理解为由语句所表达的意义。前者是对公理系统的语法研究；后者是对公理系统的语

5、义研究。形式系统是公理系统的语法部分，使用人工语言，用专门的符号表示概念，把公理和定理都变换成一些符号公式，对这些具体对象进行研究。形式系统和通常的公理系统的另一个不同之点是，普通公理系统不把从公理推导定理(证明定理)所用的逻辑规律(推理规则)包括系统在本身之中，对于哪些证明方法是可以使用的没有明确的规定。而在形式系统中对此有明确的规定。一个形式系统包括三个组成部分。第一部分是语言（形式语言），通常是一种人工语言。语言的选择应当尽可能使得语句的结构能反映它们的意义。建立一个语言首先是确定它的符号（初始符号）。初始符号相当于普通拼音文字中的字母，也称为字母

6、表。当对符号加以解释时，其中某些符号就是公理系统的初始概念。符号的数目一般是无穷的，可以由有穷个初始符号进行构造。符号的有穷序列(有穷长的符号串)称为表达式。某一表达式中符号的数目（包括重复数）称为该表达式的长度。一个表达式(不算单个符号自身)也可能在另一表达式中出现。例如，“好读书”和“好读书不好读书”是汉语中的两个表达式，前一表达式在后一表达式中出现两次。表达式中有一部分被专门区别开来。在有的形式语言中，这样被区分开来的表达式包括两类，一类称为项，一类称为合式公式。一个语言的符号和公式确定时，语言得到确定。建立一个语言就是确定它的符号和形成规则。语言

7、是纯语法的对象。形式系统的第二个组成部分是它的公理。公理是从系统公式中挑选出来作为推导系统中其余定理的出发点的部分公式。形式系统的第三个组成部分是推理规则，也称变形规则。推理规则用于从公理得出定理。每一条推理规则都规定：在一定条件下，从若干称为前提的公式能推出一个称为结论的公式。当一个推理的前提是公理或者是已经应用推理规则从公理得出的结论，那么应用一个推理规则得出的结论称为定理。一个形式系统的定理可以定义为：(1)一个形式系统的公理是它的定理；(2)如果所有的前提都是定理，那么应用它的一个推理规则得出的结论是它的定理。并且只有根据(1)和(2)这两条能确

8、定它是定理的公式才是系统的定理。对于一个形式系统的定理可以更清晰地描述如下：设S