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1、实验三怎样计算平面图形的面积一、试验目的和要求探索曲线拟合的不同方式，使学生了解泰勒公式的意义，并且对运用定积分计算任意平面图形的面积有更深入的认识。能初步运用所学数学知识及数学软件工具matlab解决实际问题。二、问题的描述通过学习高等数学，我们知道可以利用定积分来计算平而图形的而积。但这打(“仪，=『(/(x)-g(x))dY是有前提条件的，既要知道围成所考虑的平面图形的曲线对应的函数。如图图2屮平面图形的面积为，B然而在现实生活中，我们考虑计算平面图形的面积时，并不知道围成所考虑的平面图形的曲
2、线对应的函数。要运用定积分计算平而图形的而积，首先要找到这样的函数。三、问题的分析当然首先我们必须建立适当的坐标系，无妨我们就象图2那样建立直角坐标系。接下来我们面临的问题是函数尸f(x).y=g(x)应该设成什么形式。如果连函数应该是什么样的形式都不清楚，那就更谈不上把它们求出来。面对这样的情况，我们很自然希望这些函数有一种统一的简洁的形式。实验三怎样计算平面图形的面积一、试验目的和要求探索曲线拟合的不同方式，使学生了解泰勒公式的意义，并且对运用定积分计算任意平面图形的面积有更深入的认识。能初步运
3、用所学数学知识及数学软件工具matlab解决实际问题。二、问题的描述通过学习高等数学，我们知道可以利用定积分来计算平而图形的而积。但这打(“仪，=『(/(x)-g(x))dY是有前提条件的，既要知道围成所考虑的平面图形的曲线对应的函数。如图图2屮平面图形的面积为，B然而在现实生活中，我们考虑计算平面图形的面积时，并不知道围成所考虑的平面图形的曲线对应的函数。要运用定积分计算平而图形的而积，首先要找到这样的函数。三、问题的分析当然首先我们必须建立适当的坐标系，无妨我们就象图2那样建立直角坐标系。接下来
4、我们面临的问题是函数尸f(x).y=g(x)应该设成什么形式。如果连函数应该是什么样的形式都不清楚，那就更谈不上把它们求出来。面对这样的情况，我们很自然希望这些函数有一种统一的简洁的形式。四、背景知识其实在高等数学的学习屮，这个问题已经解决。这就是我们学习的泰勒公式、幕级数。满足一定条件的函数，都可以用多项式近似表示，因此，这里的函数我们可以统一设成多项式的形式(多项式逼近)。练习1：在同一坐标系内作出区间xw(-2,2)上指数函数y二『及多项式逼近函数：V=1+X,y=14-XH,V=1+XH1,
5、V=1+XH11〜2262624的图像，观察这些多项式函数逼近指数函数的情况。相关的Matlab语句：x=(-2:0.1:2);y=exp(x);y1=1+x;y2=1+x+(x.A2)/2;y2=1+x+(x.A2)/2;y3=1+x+(x.A2)/2+(x.A3)/6+(x.A4)/24;plot(x,y,k,x,y4,M,x,y2,©,x,y3,'c')练习2：在同一坐标系内作出区间xg(-兀，兀)上余弦函数y=cosx及多项式函数:y=1—:—,y=1-;—I,y=1+::—,y=1_:——
6、I1—2224「2246!2246!8!相关的Matlab语句：x=(-2:0.1:2);y=cos(x);y1=1-(x.A2)/2;y2=1-(x.A2)/2+(x.A4)/24;y3=1-(x.A2)/2+(x.A4)/24-(x.A6)/144;y4=1-(x.A2)/2+(x.A4)/24-(x.A6)/144+(x.A8)/1152;plot(x,y,k,x,y4,M,x,y2,©,x,y3,'c',x,y4,'b')因此我们可以把函数y=f(x),y=g(x)设成多项式的形式，设/(%
7、)=aQ+口］兀+^2乂2+・・・+碍兀"，g(x)=b0+肉兀+方2»+•••+$/”接下来的问题是怎样找到多项式合适的系数。我们可以先在曲线上确定若干个点。五、实验过程1.拉格朗日插值法无妨设上半段曲线y=/(兀)上取得不同的点为：3，X),/=0,1,2,3，…，72,则一定要有%o+a2xl+…％瑞=y0a0+a{xx+a2xt+…色兀；=))川o+Q心+°2丘+…色尤J儿我们可用矩阵的形式表示£>!:•稅wo前面这个H阶矩阵就是有名的范德蒙矩阵，因为取的是不同的点，所以兀
8、,兀2,…兀两两
9、不相等，此范德蒙矩阵的秩为刃，所以方程组有唯一的解。相关的Matlab语句：%原始数据•下边界曲线Xl=[0,1,2,3,4,5,6,7,7.35;3,125,0.875,0.5,0.27,0.4,12,2.65,4];tl=Xl(l,:);%横坐标yl=Xl(2,:);%竖坐标fori=l:Iength(Xl)%计算范德蒙矩阵b(i,1)=1；forj=2:length(Xl)b(i,j)=Xl(l,i)Z(j-l);end:endal=inv(b)*Xl(2,%解
