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1、中考压轴题汇编函数与几何综合的压轴题1.如图①，在平面宜角坐标系屮，AB.CD都垂肓于x轴，垂足分别为B、D且AD与B相交于E点.已知:A(-2,-6),C(l,-3)(1)求证：E点在y轴上：(2)如果有一抛物线经过A,E,C三点，求此抛物线方程.⑶如果4B位置不变，再将DC水平向右移动心＞0)个单位，此时AD与BC相交于F点，如图②，求C的而积S关于£的函数解析式.图①图②［解］(1)(本小题介绍二种方法，供参考)方法-一：过E作EO'A-X轴，垂足OWAB/ZEOV/DC・EO'_DO'E
2、Or_BOfAB~DB'CD~DB又•・•DO*B(y=DB.EOfEOf(..+=1ABDC又・・・DO'_E0，•・・A3=6,DC=3,・・・EO'=2EO'2・・・DOf=——xDB=-x3=lAB6:.DO^DO,即。，与。重合，£在『轴-上方法二：由D(1,0),A(-2,-6),得D4直线方程:y=2x-2®再由B(-2,0),C(1,・3),得BC直线方程:尸*2②联立①②得x=0V=-2・•・E点如标(0,・2),即E点在y轴上(2)设抛物线的方程尸o?+bx+c(狞0)过4(
3、-2,-6),C(1,・3)^a-2h+c=一6①E(0,-2)三点，得方程组＜d+b+c=—3②c=一2③解得d=・l,b=0,c=・2・・・抛物线方程j=-x2-2（3）（木小题给出三种方法，供参考）由（1）当DC水平向右平移£后，过AD与BC的交点E作EF丄x轴垂足为F。同（1）可得:E'FFABE'FDC=1得：EfF=2E'FDF1—,:.DF=-DBgSwSk^DCDB-^DCDF=^DC^DB=—DC•DB=DB=3+R3S=3+k为所求函数解析式方法二：VBA//DC,・・・S
4、abca=S△加人Szme‘c=S^bde‘=+BD•E'F=*(3+k)x2=3+R・・・S=3+R为所求函数解析式.证法三：S、dec:S△個c=QE‘：AEf=DC:AB=:2同理：S^de'C:S^deh=:2,乂*.*S^de'C:SbABE=D&:AB2=4221••Sw，c=§S梯形abcq=—^—{AB+CD^BD=3+k・・・S=3+k为所求函数解析式.2.已知：如图，在直线坐标系中，以点M（1,0）为圆心、直径AC为2血的圆与y轴交于A、D两点.（1）求点A的坐标；（2
5、）设过点A的肓线y=x+b与x轴交于点B.探究：宜线AB是否OM的切线？并对你的结论加以证明；Sh⑶连接BC,记MBC的外接圆面积为S「、OM面积为S"若寸r,抛物线y=ax2+bx+c经过B、M两点，且它的顶点到X轴的距离为力.求这条抛物线的解析式.［解］(1)解：由已知AM=V2,OM=1,在RtAAOM中，AO=JAM2-OM2=1,.••点A的坐标为A(0,1)(2)证：：•宜线y=x+b过点A(0,1)l=0+b即b=l.y=x+1令y=0则x=-l・・・B(—1,0),ab=-Jb
6、O2+AO2=Vl2+12=V2在AABM屮，AB=V2,AM=^2,BM=2AB2+AM2二(V2)2+(VI)2=4=BM2:.AABM是直角三角形，ZBAM=90°.・・直线AB是OM的切线(3)解法一：由⑵得ZBAC=90°,AB=V2,AC=2a/2,・•・BC=V/4B2+AC2=J(Q)2+(2©)2=V10•・・ZBAC=90°AAABC的外接圆的总径为BC,5•71=—712而S’=（―）2•兀=（空）2•龙=2龙「22设经过点B(―1,0)、M(1,0)的抛物线的解析式为：y
7、=a(x+1)(x—1),(a#0)即y=ax'—a,/.—a=±5,.*.a=±5・・・抛物线的解析式为y=5x2-5或y=-5x2+5解法二：(接上)求得・・・h=5由已知所求抛物线经过点B(―1,0)、M(］、0),则抛物线的对称轴是y轴，由题意得抛物线的顶点处标为(0,±5)・・・抛物线的解析式为y=a(x-0)2±5又B(—1,0)、M(1,0)在抛物线上,・・・a±5=0,a=±5・•・抛物线的解析式为y=5x2—5或y=—5x'+5解法三：(接上)求得・・・h=5因为抛物线的方程为
8、y=ax?+bx+c(a#))d+b+c=0由已知得《a-b+c=04ac-b2〔=±54aa=~5解得*b=0c=5Q=5或0)过点A、B,且顶点C在OP上.⑴求OP上劣弧的长;(2)求抛物线的解析式;(3)在抛物线上是否存在一D,使线段0C与PD互相平分？若存在，求lll/X
