函数与几何综合应用

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1、§7.函数与几何综合应用☆海南中考典例精析☆例1．【06海南中考】如图1，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴上.（1）求的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为，点P的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.EBACP图1OxyD解:(1

2、)∵点A(3,4)在直线y=x+m上，∴4=3+m.∴m=1.设所求二次函数的关系式为y=a(x-1)2∵点A(3,4)在二次函数y=a(x-1)2的图象上，∴4=a(3-1)2,∴a=1.∴所求二次函数的关系式为y=(x-1)2.即y=x2-2x+1.(2)设P、E两点的纵坐标分别为yP和yE.∴PE=h=yP-yE=(x+1)-(x2-2x+1)=-x2+3x.即h=-x2+3x(0＜x＜3).(3)存在.解法1：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE=DC.∵点D在直线y=x+1上,∴点D的坐标为(1,2),∴-x2+3x=2.即x2-3x+2=0.解之，得x1=2，x2=1(不合题

3、意，舍去)∴当P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形.例2．【07海南中考】如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过点、和点.（1）求该二次函数的关系式；（2）设该二次函数的图象的顶点为，求四边形的面积；（3）有两动点、同时从点出发，其中点以每秒个单位长度的速度沿折线按→→的路线运动，点以每秒个单位长度的速度沿折线按→→的路线运动，当、两点相遇时，它们都停止运动.设、同时从点出发秒时，的面积为S.①请问、两点在运动过程中，是否存在∥，若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由；10②请求出S关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；③设是②中函数S的最大值，那么

4、=.解：（1）令，则；令则.∴、∵二次函数的图象过点，∴可设二次函数的关系式为又∵该函数图象过点、∴解之，得，∴所求二次函数的关系式为（2）∵=∴顶点M的坐标为过点M作MF轴于F∴=∴四边形AOCM的面积为10（3）①不存在DE∥OC∵若DE∥OC，则点D、E应分别在线段OA、CA上，此时12，不满足1

5、BCODExy例3．【08海南中考】如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；（2）求证：①CB=CE；②D是BE的中点；（3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.解（1）∵点B(-2,m)在直线y=-2x-1上，∴m=-2×(-2)-1=3.∴B(-2,3)∵抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2，∴点A的坐标为(4,0).设所求的

6、抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4).将点B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)，∴.∴所求的抛物线对应的函数关系式为，即.（2）①直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0,-1)E(2,-5).过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=2交于G，ABCODExyx=2GFH则BG⊥直线x=2，BG=4.在Rt△BGC中，BC=.∵CE=5，∴CB=CE=5.②过点E作EH∥x轴，交y轴于H，则点H的坐标为H(0,-5).又点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1)，∴FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°.∴△DFB≌△D

7、HE（SAS），∴BD=DE.即D是BE的中点.（3）存在.由于PB=PE，∴点P在直线CD上，∴符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点.设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b.将D(0,-1)C(2,0)代入，得.解得.10∴直线CD对应的函数关系式为y=x-1.∵动点P的坐标为(x，)，∴x-1=.解得，.∴，.∴符合条件的点P的坐标为(，)或(，).例3．【09海南中考】如图2，已知抛物