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1、初三数学讲义(二次函数(1))知识梳理：一、二次函数概念：二次函数的概念：一•般地，形如歹=处2+处+0(a,b,c是常数，qhO)的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数GH0，而b,C可以为零.二次函数的定义域是全体实数.二、二次函数的基本形式1.—般式：y=ax2+bx-rc(a,b,c为常数，ghO)；2.顶点式：y=a(x-h)2+k(a,h,R为常数，aO')；3.两根式：y=a(x-x})(x-x2)(心0,a;,勺是抛物线打x轴两交点的横坐标).注意：任何二次函数的解析式都町以化成一般式或顶点式，但并非所冇的
2、二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2-4ac>0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.三、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数。二次函数y=ax2+bx+c中，。作为二次项系数，显然心0.(1)当。>0时，抛物线开口向上，a的值越人，开口越小，反之a的值越小，开口越人；(2)当avO时，抛物线开口向下，。的值越小，开口越小，反Za的值越大，开口越大.总结起來，a决定了抛物线开口的人小和方向，a的正负决定开口方向，问的大小决定开口的人小.2.一次项系数b在二次项系数。确定的前提下，b决定
3、了抛物线的对称轴.(1)在a>0的前提下，当b〉0时，-£<0,即抛物线的对称轴在y轴左侧；当b=0时，-2=o,即抛物线的对称轴就是y轴；当b<0时，>0,即抛物线对称轴在y轴的右侧.2a⑵在d<0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b>0时，」＞0,2a即抛物线的対称轴在V轴右侧;当"0时，厶0,2a即抛物线的对称轴就是y轴；当bvO吋，2a即抛物线对称轴在y轴的左侧.总结起来，在。确定的前提下，方决定了抛物线对称轴的位置.b〃的符号的判定：对称轴%=-—在y轴左边则ah＞0,在y轴的右侧则ah＜Of2a概括的说就是“左同右异”1.常数项c（1）当c
4、〉0吋，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵处标为正;（2）当c=0时，抛物线与），轴的交点为处标原点，即抛物线与y轴交点的纵绝标为0；（3）当cvO时，抛物线与），轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.总结起來，c决定了抛物线与y轴交点的位置.二次函数解析式的确定：三个独立条件四、二次函数y=加+c的性质1当心时’抛物线开口向上’对称轴为“芯顶点坐标为b4心圧、2a4a丿^x＜~—时・，y随X的增大而减小；当x＞-2时，y随X的增大而增大；当兀=-上~2a2a2a时，y冇最小值竺J•4a2.当d＜0时，抛物线开口向下，对
5、称轴为x=-—f顶点坐标为当2a（2a4d丿XV__L吋，y随兀的增大而增大；当尢＞-2吋，y随x的增大而减小；当z-2时，y2a2a2a有最大值竺二兰.4a注意：当定义域是心―时，要判断对称轴是否在定义域内•若对称轴在定义域内时，最值就在顶点处取；否则就在端点处取最值.五、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法一：（1）将抛物线解析式转化成顶点式y=a（x-h）2+k，确定其顶点坐标（/?，◎；⑵保持抛物线y=的形状不变，将其顶点平移到（/?,k）处，具体平移方法如卜•:y=«x2平移M个单位向右（力＞0）【或左（/?＜0）］向上伙＞0）【或下伙＜0）
6、】平移悶个单位向右⑺＞0）【或左（/1＜0）1平移阳个单位向上仗＞0）【或下伙＜o）】平移昭个单位"卜=呛巾）2+£向上伙＞0）【或向下伙＜0）】平移比
7、个单位v=ax向右⑺＞0）【或左（X0）】平移阳个单位2.平移规律在原有函数的基础上S值正右移，负左移；R值正上移，负下移〃・概括成八个字“左加右减，上加下减”.六、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与兀轴交点情况)：一元二次方程姒2+^+c=0是二次函数尸祇2+应+C当函数值y=0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：①当A=Z?2-4ac>0时，图象与兀轴交于两点A(
8、X[,0),B(x2,0)(x,#x2),其中的旺,x2是一-元二次方程W+/^+c=o(aHO)的两根.这两点间的距离AB=x2-x]=b'②当△=()时，图象与x轴只有一个交点；③当△<()时，图象与x轴没冇交点.r当d>o时，图象落在X轴的上方，无论兀为任何实数，都有y>0；2*当°<0时・，图象落在尤轴的下方，无论x为任何实数，都有y<0.2.抛物线y=ax2+bx+c的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0,c)；3.二次函数常用解题方法总结：(1)求二次函数的图象与兀轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；(2)求二次甫数的最大(小)值需要利用配
9、方法将二次函数由一般式转化为顶点式；(3)根据图象的位置判断二次函数y=ax2+bx+c^af
