初高中衔接原始

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初高中衔接型中考数学试题一、选择题1•点P（-1,2）关于y轴对称的点的坐标是（）.A.（1,2）B.（-1,2）C.（1,-2）2.在ZXABC中，ZC=90°,sinA=-,则cosA的值是（）.433A.-B・一C.-5543.方程x2+6x_5=0的左边配成完全平方后所得方程为（A.（兀+3）2=14B.（兀一3尸=14C.（x+6）2=|2、（2003十堰）先阅读下而的材料，再解答下而的问题.D.(-1,・2)D.D.以上答案都不对在平而直角处标系中，有A（xP力）、B（X2,y2）两点，A、B两点间的距离用AB表示，则有：AB，下血我们來证明这个公式:图5（1）图5（2）证明：如图5（1）,过A点作x轴的垂线，垂足为C,则C点的横处标为"，过B点作x轴的垂线，垂足为D,则D点的横坐标为X2,过A点作BD的垂线，垂足为E,则E点的横坐标为X2,纵坐标为力.AIAE|=ICD|=IX|—x2IIBE|=IBDI—IDE|=Iy2—yiI=Iyi—y?I在RtAAEB中，由勾股定理得IAB|2=IAEI2+IBE|2=IXi-x2I2+Iy.-y22•-|AB|=7（^i-^2）2+Gi-y2）2（因为丨ABi表示线段长，为非负数） 引入乘法公式第一讲因式分解1.1提取公因式1.2.公式法（平方差，完全平方，立方和，立方差）1.3分组分解法1・4十字相乘法（重、难点）1.5关于x的二次三项式ax2+bx+c（a#））的因式分解.第二讲函数与方程2.1一元二次方程2.1.1根的判别式2.1.2根与系数的关系（韦达定理）2.2二次函数2.2.1二次函数y=ax?+bx+c的图象和性质2.2.2二次函数的三种表示方式2.2.3二次函数的简单应用第三讲三角形的“四心，'乘法公式我们在初111已经学习过了下列一些乘法公式:（1）平方差公式@+〃）@一方）二/一戾；（2）完全平方公式（a±b）2=a2±2ab-^-h2.我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式（2）立方差公式（3）三数和平方公式（4）两数和立方公式（5）两数差立方公式(d+b)(/-ab+b2)=a3；(a-b)(a2+ab+b?)=cF-b'；(d+方+c)2=a2+b24-c2+2(ah+be+ac)；@++3/6+3^2+53；(a-by=a3-3a2b+3ab2-h3•对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以口己去证明.借!I1计算：(兀+1)(兀一l)(x~—x+l)(x~+x+1)・解法一:原式=(兀$一1)[(兀2+1)2_兀2=(x2-l)(x4+x2+l)=x6-l角军:去二：原式=(兀+1)(兀2-%+1)(%-1)(%2+兀+1)=(x3+l)(x3-1)=x6-1.例2已矢flcz+b+c=4,ab+bc+ac=4,+/?2+c2解：a24-Z?2+c2=(6f+/?4-c)2-2(ab+be+ac)=8. 练习1.填空：1?1911(1)—a"——b~=(—b+—a)()；9423(2)(4m+尸=16〃r+4加+()：(3)(a+2b—c)~=/+4/?2+c?+().1.选择题：(1)若x2+-mx+k是一个完全平方式，则£等于2(A)m2(B)im2(C)-m2(D)—in4316(2)不论a,b为何实数，a1+决—2a—4b+8的值((A)总是正数(B)总是负数(C)可以是零(D)可以是正数也可以是负数第一讲因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应了解求根法及待定系数法.1.十字相乘法例1分解因式：(1)/—3兀+2；(2)x2+4x—12；(3)x2-(a4-b)xy+aby2；(4)厂-l+x-y.解：(1)如图1.1-1,将二次项/分解成图中的两个兀的积，再将常数项2分解成一1与一2的乘积，而图屮的对角线上的两个数乘积的和为一3x,就是x2~3x+2中的一次项，所以，有‘一3兀+2=(兀一1)(兀_2).说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1.1-1屮的两个x用1来表示(如图1.1—2所示).(2)由图1.1—3,得?+4x-12=(x-2)(x+6).(3)由图1.1-4,得f-(a+b)xy+aby^=(x-ay)(x-by) (4)xyx-y=xy+(x_y)_l=(x—l)(y+l)(如图1.1-5所示).课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式：(1)(2)(3)(4)(5)兀2一(q+1)兀+a=x2+5x—6=x2—5x+6=x2+5x+6=x2-5x-6=(6)兀〜一11兀+18二°(7)6x?+7x+2=o(8)4/n2-12/71+9=o(9)5+7兀一6兀2=o(10)12x2+xy-6y2=2^x2-4x+=(x+3)(x4-)3、若兀$+ax+b=(兀+2)(x-4)则a=二、选择题：(每小题四个答案屮只有一个是正确的)1、A、C、在多项式(1)(5)只有(1)(2)只冇(3)(5)x'+7兀+6(2)兀厶+4兀+3(3)x24-6x4-8(4)x~4-7x4-10F+15x+44屮，有相同因式的是()B、只有(3)(4)D、(1)和(2)；(3)和(4)；(3)和(5)C、(d-llb)(d-3b)D、2、分解因式a2+Sab-33b2得()A(a+ll)(d-3)B(a+1lb)(d-3b)(d-llb)(a+3b)3、(°+疔+8(°+切-20分解因式得()A>(a+b+10)(d+b—2)B、(a+b+5)(d+b-4)C、(a+b+2)(a+b-10)D^(a+b+4)(a+/?-5)4、若多项式x2-3x+a可分解为(x-5)(x-/?),贝ija、b的值是()A>a=10,b=2a=10,b=—2C、a=—10,b=—2D、a=—10,b=25、若兀2+加兀_10=(x+a)(x+b)其中a、b为整数，则加的值为()A、3或9±3C、±9D、±3或±9三、把下列各式分解因式1>6(2〃—g)—1l(g—2#)+32、a'—5a2b+6ab~4、b4-2b2-S3、2)/_4y_6 1.提取公因式法例2分解因式：(1)a2(b-5)+a(5-b)(2)?+9+3x24-3x解：(1).a2(b-5)+a(5-b)=a(b-5)(a-1)(2)兀‘+9+3x2+3x=(x‘+3兀2)+(3兀+9)=兀‘(兀+3)+3(兀+3)=(兀+3)(%2+3)•或?+9+3x2+3x=(x3+3x2+3x+1)+8=(a:+1)3+8=(x+1)3+23=[(x+1)+2][(x+1)2-(x+1)x2+22]=(x+3)(F+3)课堂练习：一、填空题：1、多项式6x2y-2xy2+4xyz中各项的公因式是。2、m(x-y)+n(y-x)=(x-y)•。3、m[x_y)2+"(y一x)2=(x-y)2•。4、m(x_y一z)+n(y+z一兀)=(x一y一z)•。5、m(x__z)_x+)‘+z=(兀_y_z)•。6、-3ab2x6-39a3b2x5分解因式得。7、计算99?+99=二、判断题：(正确的打上“J",错误的打上“X”)1、2a2b-4ab2=2ab(a-b)()2、am4-hm--m=m{a+ft)()3、一3兀’+6x~—15兀=—3x(x~+2x—5)()4、*i(x+l)()3：公式法例3分解因式：(1)一/+16(2)(3x+2y)2-(x-y)2解：⑴_/+]6=42_(/)2=(4+护)(4_/)=(4+/)(2+4)(2_^)(2)(3x+2y『_(兀一『尸=(3x+2y+x-y)(3兀+2y-x+y)=(4x+)‘)(2x+3)’)课堂练习一、a2-2ab+b21a2-b21a3-h3的公因式是二、判断题：（正确的打上“丁”，错误的打上“X”） 1、-x2-Q.01=-x9(3(O.l)2=l|x+O.l2-0.12、9宀肿=(3d『—(4疔=(3a+4b)(3d—4b) 3、25a2-16/?=(5a+4b)(5a-4h)・()4、x)，-(xy(兀+y)(兀y)…()5、a，-0+c)2=(a+b+c)(d-b+c)五、把下列各式分解・•()1、—9(77?—7?)2+(m+??)22、3x2--33、4-(兀?-4x4-2)~4、%4—2x2+14.分组分解法(2)2x2+y?-4x+5y一6・例4(1)兀$一兀『+3)一3尢(2)2兀$+小_『2-4x+5y-6=2x2+(y-4)x->?2+5y-6=2x2+(y—4)x_(y—2)(y_3)=(2x-y+2)(x+y—3)•或2x2+xy-y2-4x+5y-6=(2x2+xy-y2)-(4x-5y)-6=(2x-y)(x+y)-(4x-5y)-6=(2x-y+2)(兀+y_3).课堂练习：用分组分解法分解多项式(1)x2-y2+a2-b2+2ax-^2by(2)/-4ab+4/异一6a+12b+95.关于x的二次三项式or。加汁c(aHO)的因式分解.若关于兀的方程ax2+bx-^c=O(a^O)的两个实数根是州、勺，则二次三项式ax2+bx+c(Q工0)就可分解为a(x-x})(x-x2).例5把下列关于x的二次多项式分解因式：(1)x24-2x-1；(2)x2-^-4xy-4y2.解：(1)令x2+2x-1=0,则解得^=-1+72,x2=-l-V2,・：兀?+2兀-1=x—(—1+V2)[尢—(一1—=(X4-1—V2)(x4-14->/2).⑵令x2+4xy-4y2=o,则解得再=(—2+2©)y,旺=(—2—2血)y,・•・x2+4xy-4)/=[兀+2(1-V2)y][x+2(1+>/2)y]•练习1.选择题：多项式2/一X)，_15/的一个因式为 (A)2x-5y(B)x-3y2.分解因式：(1)x2+6x+&(3)x2—2x—1；1.分解因式：(1)+1：(3)b2+c2+lab4-lac+2bc；2.在实数范围内因式分解：(1)x2—5%+3；(3)3x2+4xy-y2；(C)兀+3y(D)x-5y(2)8/—沪；(4)4(x—y+l)+y(y—2x).习题1.2(2)4x4-13x2+9；(4)+5兀『一2尸+兀+9『一4(2)%2—2-/2x-3；(4)(%2—2x)2—7(兀?—2x)+12.3.AABC三边a,b,c满足a2+b2+c4.分解因式：x2--x—(a2—a).=ab+be+ca,试判定AABC的形状2.1.1根的判别式{情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，如求方程的根（1）x2+2x—3=0（2）x2+2x+1=0（3）x2+2x+3=0}我们知道，对于一元二次方程ax2+hx+c=0（狞0）,用配方法可以将其变形为/b、2h2-4ac4a2因为所以，4a2>0.于是（1）当b2~4ac>0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不和等的实数-b土-4qc兀1・2=；2a（2）当h2-4ac=0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根bX=X2=———;2a（3）当b2~4ac<0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边（x+—）2-定人2a于或等于零，因此，原方程没冇实数根.由此可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a丸）的根的情况可以由b2~4ac来判定，我们把b2~4ac叫做一元二次方程祇2+加+（=0（殍0）的根的判别式，通常用符号來表示.综上所述，对于一元二次方程ax2+bx+c=Q（a徂）），有（1）当A>0时，方程有两个不相等的实数根-b±jb~-4ac 兀】'2=；2a(2)当A=0时，方程有两个相等的实数根bxi=x2=——;2a(3)当AVO时，方程没有实数根.例1判定下列关于x的方程的根的情况(其屮。为常数)，如果方程有实数根，写出方程的实数根.(1)x2—3x+3=O；(2)%2—ax—1=0；(3)x2—ax~~(a—1)=0；(4)x~—2jv+q=0.解：(1)VA=32-4xlx3=-3<0,A方程没有实数根.(2)该方程的根的判别式A=/—4x1x(—1)=/+4>0,所以方程一定有两个不等的实数根_a+la2+4_a-Jed+4(3)由于该方程的根的判别式为A=tz2—4x1x(^—1)=^2—4«+4=(«—2)2,所以，①当a=2时，△=(),所以方程有两个相等的实数根X=兀2=]；②当时，△>(),所以方程冇两个不相等的实数根X[—9X2~Cl—1.(1)由于该方程的根的判别式为△=2?-4><1><0=4-4°=4(1—ci),所以①当△>(),即4(1—Q)>0,即GV1时，方程有两个不相等的实数根£=1+J1一a,x2=-Jl-a；②当△=(),即时，方程有两个相等的实数根X=X2=1；③当A<0,即a>Ht，方程没有实数根.说明：在第3,4小题中，方程的根的判別式的符号随着d的取值的变化而变化，于是,在解题过程中，需要对Q的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论.分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题. 2・1・2根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方^ax2+bx+c=03工0）有两个实数根-b+yjb2-4ac-b-yjb2-4ac12a2a则有-b+yjb2-4ac-b-^Jb2-4ac-2bbXy+Xj=1==；2a2a2aa-b+yjb^-4ac-b一ylb^-4acb2一（b2一4ac）4acc"厂—云云—=—荷—二而為・所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：.bc如果ax2+bx+c=0（好0）的两根分别是七，那么Xx+x2=,xxx2=—・这一aa关系也被称为韦达定理.特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程^+px+q=O,若占，疋是其两根，由韦达定理可知X+疋=—P，兀1咗2=如即p=—（・工1十・工2），q=X］•兀2，所以，方程x2+px+q=0可化为（兀］+尤2）兀+兀［之2=0，由于兀1，兀2是一元二次方程x2+px+q=0的两根，所以，M，兀2也是一元二次方程-（^1+x2）x+xrx2=0.因此有以两个数七为根的一元二次方程（二次项系数为1）是H—（x1+兀2衣+工1*2=0.例2已知方程5F+b—6=0的一个根是2,求它的另一个根及R的值.分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根.但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一•个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值.解法一：・・・2是方程的一个根，.5x22+A：x2-6=0,:.k=~7.3所以，方程就为5x2—7x—6=0,解得xi=2,X2=~—. 一3所以，方程的另一个根为一一，R的值为一7.5解法二：设方程的另一个根为X】，贝ij2xi=--,:.Xl=~-・55由（一一）+2=——,得k=—7.553所以，方程的另一个根为一一，R的值为一7.5例3E2知关于x的方程x2+2（/77~2）x+m2+4=0冇两个实数根，并fl.这两个实数根的平方和比两个根的积人21,求加的值.分析：木题口J以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于加的方程，从而解得加的值•但在解题小需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零.解：设xi，x2是方程的两根，由韦达定理，得心+尤2=—2（加—2）,X-X2=m2+4.Vxi2+x22—xrx2=21,（X|十疋）2—3X］之2=21,即［一2（加一2）］2—3（〃/+4）=21,化简，得tn2—16/?：—17=0,解得m=—y或加=17.当〃?=—1吋，方程为x2+6x+5=0,A>0,满足题意；当加=17时,方程为x2+30x+293=0,A=302-4x1x293<0,不合题意,舍去.综上，/n=17.说明：（1）在木题的解题过程中，也口J以先研究满足方程冇两个实数根所对应的m的范F同，然示再由“两个实数根的平方和比两个根的积人21”求出加的值，取满足条件的m的值即可.（1）在今后的解题过程屮，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式△是否大于或大于零.因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根.例4己知两个数的和为4,积为一12,求这两个数.分析：我们可以设出这两个数分别为x,y,利用二元方程求解出这两个数.也可以利用韦达定理转化出--元二次方程來求解.解法一：设这两个数分别是x,y,则x+y=4,©xy=-2・②由①，得y=4—x,代入②，得x（4—x）=—12,即/一铁一12=0,•*X=—2,乃=6..=—2’=6,•・［牙=6,口］旳=一2.因此，这两个数是一2和6.解法二：市韦达定理可知，这两个数是方程?-4x-12=0的两个根.解这个方程，得X=—2,尤2=6・所以，这两个数是一2和「6. 说明：从上而的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法—简捷.例5若小和兀2分别是一元二次方程2/+5X—3=0的两根.（1）求|兀1一血|的值;（2）求A+—1的值；石兀2（3）兀「+兀2‘.解:V%!和；2分别是一一元二次方程lr+5x-3=0的两根，(1)*•*|X1——2兀]兀2=(乳|+兀2)?—4兀|兀2=(討-4&)(5c(3、25q（州兀2）2丄丄匚时+璟一(西+勺)2-2牡一(二)一"(-卫—丁+337xjX22x/-X22U1^2)2(-2)22(3)X13+X23=(x1+X2)(X2—XX2~-X22)=(X+X2)[(小+兀2)'一彳乂内]55.3215=(--)x(--)-3x(一一)]=-——.2228说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设X］和兀2分别是一元二次方程ax2+bx+c=0（°工0）,贝I」-b-jh2-4ac-b+Jb?-4ac-h-/h2-4ac2slb2-4ac2a2a2a-b+Jb，-4ac2a_Jh2-4ac_Va于是有下面的结论：若曲和兀2分别是一元二次方程ax2+bx+c=0（«#0）,贝lj|Xi—x2|=-^-（其中人=庆山丨—4ac）・今麻，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以肓接利用上而的结论.例6若关于x的一元二次方程?-x+«-4=0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围.解：设心，兀2是方程的两根，则Q兀2=。一4<0,①且△=（一1）2-4（6/-4）>0.②由①得«<4,_17由②得a<~^・「虫的取值范围是d<4・练习1.选择题： （1）方程£-2虑七3亡=0的根的情况是（）（A）有一个实数根（B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根（D）没有实数根（2）若关于x的方程（2fn+l）x+m=0有两个不相等的实数根，贝lj实数加的取值范围是（）（A）/7?<—（B）m>——44（C）丄，且〃详0（D）加>—丄，_tL442.填空：（1）若方程?-3x-l=0的两根分别是X］和也，则丄+丄=.x}x2（2）方程mx2+x~2m=0（加丸）的根的情况是•（3）以一3和1为根的一元二次方程是•1.已知J/+8a+16+|b-1|=0,当£取何值时，方程kx2+ax+b=0两个不相等的实数根？2.已知方程x2~3x—=0的两根为X］和*2，求（q—3）（疋一3）的值.2.1.1根的判别式{情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，如求方程的根（1）x2+2x-3=0（2）兀？+2兀+1=0（3）%2+2x4-3=0}我们知道，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（dMO）,用配方法可以将其变形为b2-4ac4a2因为。丸，所以，4/>0.于是（1）当b2-4ac>0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数-b土Jb?-4qc乂1，2=-；2a（2）当b2~4ac=0吋，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根b兀1=兀2=_J；2a（3）当b2~4ac<0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边（x+—）2-定人2a于或等于零，因此，原方程没有实数根.由此可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（d#））的根的情况可以由b2-4ac來判定，我们把b2~4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（殍0）的根的判别式，通常用符号叫來表示.综上所述，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（^0）,有 （2）当A>0时，方程有两个不相等的实数根-b±jb2-4ac兀1，2=；2a（2）当A=0时，方程有两个相等的实数根 bM=X2=_L；2a(3)当AVO时，方程没有实数根.例1判定下列关于x的方程的根的情况(其小a为常数)，如果方程有实数根，写出方程的实数根.(1)3兀+3=0；(2)x~ax—1=0；(3)H-q+s一i)=o；(4)^-2x+a=0.解:(1)VA=32-4xlx3=-3<0,方程没有实数根.(2)该方程的根的判别式—4x1x(—i)=/+4>o,所以方程一定有两个不等的实数根a+JCt?+4ci—yjci24-4122(3)由于该方程的根的判别式为A=«2-4xlx(6Z-l)=6Z2-4rt+4=(f/-2)2,所以，①当a=2时，A=0,所以方程有两个相等的实数根X1=X2=1;②当c#2时，△>(),所以方程有两个不相等的实数根X]=l,X2=Cl—1.(3)由于该方程的根的判别式为A=22—4x1x6Z=4—461=4(1―幺)，所以①当△>(),即4(1—4)>0,即aVl吋，方程有两个不相等的实数根X]=1+J—a,七=]-Jl—a:②当A=0,即a=l时，方程有两个相等的实数根X=X2=1；③当AVO,即°>1时，方程没有实数根.说明：在第3,4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是,在解题过程屮，需要对。的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论.分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法來解2.1.2根与系数的关系(韦达定理)若一元二次方^ax2+bx+c=0(狞0)有两个实数根-b+yjb2-4ac-b-ylb2-4ac2a2a£=,吃则有-b+/b2-4ac-b-y/b2-4ac-2bbx}+x9=1==—；~2a2alaa-b+yjh2-4ac-b-yjb2-4ac_b~-(b2-4ac)_4ac_cI,■I=■1—,—12a2a~2a2a4cr所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：4a2a.bc如果ax2+bx+c=0(好0)的两根分别是mx2,那么xx+x2=,XfX2=—.这一aa关系也被称为韦达定理. 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0,若占，也是其两根，由韦达定理可知X~~Xi=—p、xi•兀2=q，即p=—(x]%2)g=X]•兀2，所以，方程x2+px+q=0可化为J—(兀1+尤2)兀+兀1卞2=0，由于兀1，入"2是一元二次方程x2+px+q=0的两根，所以，Xp兀2也是一元二次方程X2-(Xi+x2)x+Xi'X2=0.因此有以两个数小，工2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是兀2—(x]+x2)X+xrx2=o.例2已知方程5x2-}-kx-6=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出R的值，再由方程解出另一个根.但由于我们学习了韦达定理，乂可以利用韦达定理來解题，即山于己知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根Z积求出方程的另一个根，再由两根之和求出£的值.解法一：・・・2是方程的一个根，・・・5><2+><2—6=0,:・k=T.2所以，方程就为5x2—7x—6=0,解得%|=2,X2=~—.3所以，方程的另一个根为一一，R的值为一7.5解法二：设方程的另一个根为兀】，贝IJ2七=—@,・・・/=—3.3k由(一一)+2=——,得k=~7.553所以，方程的另一个根为一—，R的值为一7.5例3已知关于x的方程x2+2(/n-2)x+/n2+4=0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21,求加的值.分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于加的方程，从而解得m的值.但在解题中盂要特别注意的是，由于所给的方程冇两个实数根，因此，其根的判别式应大于零.解：设山，兀2是方程的两根，由韦达定理，得°X~~X2=—2(/7?—2),X]・X2=m~+4.TX]2+—X|'X2=21,(X1+兀2)2—3X]之2=21，即[一2(加一2)『一3伽+)=21,化简，得fn2—16/n—17=0,解得〃?=—1,或加=17.当〃?=—1时，方程为？+6兀+5=0,A>0,满足题意；当加=17时，方程为,+30x+293=0,A=302-4xlx293<0,不合题意，舍去.综上，m=l,说明：(1)在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的加的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出加的值，取满足条件的巾的值即可.(1)在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，述耍考虑到根的判别式△是否大于或大于零.因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根.例4已知两个数的和为4,积为一12,求这两个数.分析：我们可以设出这两个数分别为x,y,利用二元方程求解出这两个数.也可以利用韦达定理转化出一元二次方程來求解. 解法一：设这两个数分别是兀，y, 则x+y=4,xy=—12.J由①，得y=4—兀，代入②，得x(4—x)=—12,即?-4x-12=0,•*X=—2,尤2=6..x~-2,••仏=6,兀2=6,丿2=-2・因此，这两个数是一2和6.解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x2-4x-12=0的两个根.解这个方程，得X=—29X2=6.以，这两个数是一2和6.所说捷例5(1)(2)明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理來解题）要比解法若Q和X2分别是一元二次方程2/+5兀一3=0的两根.求|q—花|的值;求丄+—1的值；西兀2打+兀2‘・（3）解：・・・/和也分别是一元二次方程2?+5兀一3=0的两根,・53・・兀]+勺=_亍，兀1兀2=_㊁°53(1)VIXi-x2|2=^i2+x22—2X1X2=(X1+x2)2—4x{x2=(--)2-4x(-；)』+6=堂447•*-x-x2=-•112丄2/丄、2°(--)2-2X(-~)—+3X1_]_£+%2—(X】+乳2)—2西乳2_22_4_37亍二T—..2■■2—/…、2一7——9——64°.（7（3）X13+X23=（X1+X2）（Xi2-X]X2+X22）=（X]+X2）[（X]+^2）2—3x^2]55.3215=（一-）x[（-一）一3x（—一）]=-——.2228说明：一•元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一•般规律：设xi和*2分别是一元二次方程ax2+bx+c=O（狞0）,贝I」 -/?+V/?2-4ac-b-h2-4ac/.|xi—%2|—-b+JX-4ac-b-y/b2-4ac2a2a2a2a2騙-4皿2a兀2 _b2-4ac_Va|a|1^1于是有下面的结论：若曲和兀2分别是一元二次方程ax2+bx+c=Q（«^0）,贝!j|x—x2=-^-（其中^=b2Ml—4ac).今后，在求一元二次方程的两根Z差的绝对值时，可以直接利用上面的结论.例6若关于x的一元二次方程x2-x+«-4=0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围.练1.2.3.4.解：设Xl，X2是方程的两根，则XX2=ci一4V0,（J）且△=（一1）2-4（6/-4）>0,②由①得«<4,17由②得a<~^.a的取值范围是a<4.习选择题：（1）方程x1—2爲kx+3k》=0的根的情况是（A）有一个实数根（B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根（D）没有实数根（2）若关于兀的方程/n?+（2/n+l）x+m=0有两个不相等的实数根，则实数加的取值范围是（）(A)m<—4(C)m<—,且mi=Q4填空:(B)m>_-4(D)m>~—,且4（1）若方程?-3x-l=0的两根分别是心和兀2,则丄+丄=兀］七（2）方程加,+兀一2加=0（m^O）的根的情况是・（3）以一3和1为根的一元二次方程是.已知J/+8d+16+|b-l|=0,当鸟取何值时，方程hc+ax+b=0有两个不相等的实数根？已知方程X2—3x—1=0的两根为Xi和疋，求（X】一3）（兀2—3）的值.1.2二次函数2.2.1二次函数y=axl-rbx+c的图象和性质｛情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象，如作图（1）y=F（2）y=_兀2（3）y=x2+2x-3教师可采用计算机绘图软件辅助教学｝问题1函数y=a,与的图彖z间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y=2?,y=|x2,y=-2r的图象，通过这些函 数图象与函数尸,的图象之间的关系，推导出函数）=（/与尸，的图象之间所存在的关系.先画出函数y=/,y=2x2的图象.先列表：X■••3-2-10123•••2X•••9410149•••2x2•••188202818从表中不难看出，要得到2/的值，只要把相应的/的值扩人两倍就可以了.再描点、连线，就分別得到了函数尸）=2,的图象（如图2—1所示），从图2—1我们町以得到这两个两数图象之间的关系：函数）=2“的图彖町以由函数的图象各点的纵坐标变为原來的两倍得到.同学们也可以用类似于上而的方法画出函数$=丄y=-2?的图象，并研究这两个2函数图象与函数y=x2的图象之间的关系.通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y=ax2（a/0）的图象可以由j=x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到•在二次函数（的幼中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小.问题2函数y=a（x+h）2+k与尸a,的图象Z间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用儿个特殊的函数图象之间的关系來研究它们之间的关系.同学们可以作出函数y=2（x+l）2+l与y=2?的图象（如图2-2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y=2?的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y=2（x+1）2+1的图象.这两个函数图象Z间具冇“形状相同，位置不同"的特点.类似地，还可以通过画函数y=-3x2,y=-3（x~l）2+1的图象，研究它们图象之间的相互关系.通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数），=心+/2）2+/殍0）中，d决定了二次函数图象的开口大小及方向；血决定了二次函数图象的左右平移，而且“"正左移，“负右移”；R决定了二次函数图象的上下平移,而且噪正上移，斤负下移”.由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y=ax2+bx+c（a^O）的图象的方法：.b.bb2h2由于y=ax+bx+c=a（x+—x）+c=a（x+—X+——）+c~——aa4/4a2a4a所以，•（辱0）的图象可以看作是将函数）=忌的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数）=亦+加+c（好0）具有下列性质：），h—4a（1）当a>0时，函数y=ax2+bx+c图象开口向上；顶点坐标为（—<2a对称轴为直线X=-—；当XV—2时，y随着兀的增大而减小；当Q—2时，y随着2a2a2ab4ctc—4a兀的增大而增大；当x=-—时，函数取最小值2a），h4nc-b2（2）当a<0时,函数y=ax2+bx+c图象开口向下;顶点坐标为（——,一；——2a4a对称轴为直线尸-岀当Y毎时"着兀的增大而增九当兀>€时”着b4ac—b，"的增大而减小；当x=-—时，函数取最大值尸• 2a4a上述二次函数的性质可以分别通过图2.2-3和图2.2—4总观地表示出来.因此在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题.例1求二次函数y=-3?-6x+l图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值)，并指出当兀収何值时，y随x的增大而增大(或减小)？并画出该函数的图象.解：Vy=-3x2-6x+1=-3(x+1)2+4,・••两数图象的开口向下；对称轴是直线—1;顶点坐标为(一1,4)；当x=—l时，函数)，取最大值y=4；当x<-l时，y随看x的增大而增大；当尤>-1时，y随着兀的增大而减小；采用描点法画图,选顶点A(—1,4)),与兀轴交于点B(2^~3,0)和C(-M+3,0),与y轴的交点为D(0,1),过这五点画出图象(如图2-5所示).说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确.函数y=a^+bx+c图象作图要领：(1)确定开口方向：由二次项系数a决定b(2)确定对称轴：对称轴方程为兀二——2a(3)确定图象与x轴的交点情况，①若△>()则与x轴有两个交点，可由方程#+bx+c=0求出②①若△=()则与x轴有一个交点，可由方程x+bx+c=0求出③①若△<()则与x轴有无交点。确定图象与y轴的交点情况，令x=0得出尸c,所以交点坐标为(例3把二次函数y=/+bx+c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y=x的图像，求b,c的值.解法一：y=x2+bx+c=(x+-)2+c~—,把它的图像向上平移2个单位，再向左平移42个单位，得到尸(x+£+4)2+c-手+2的图像，也就是函数)=/的图像，所以， 解法二：把二次函数y=x2+bx+c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y=x2的图像，等价于把二次函数y=x2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y=x2+bx+c的图像.由于把二次函数的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y=(x-4)2+2的图像，即为y=x2-8x+14的图像，.••函数y=x2~8x+14与函数y=x+bx+c表示同一个函数，・•"=—8,c=14・说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律.这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较人；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点.今后，我们在解题吋，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题.例4已知函数y=x2,—2—2f求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最人值和最小值时所对应的自变量x的值.分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需耍对a的取值进行讨论.解：(1)当d=—2吋，函数y=d的图象仅仅对应着一个点(_2,4),所以，函数的最大值和最小值都是4,此时x=-2；(1)当一20时，抛物线y=ax2+bx+c(a^)^x轴有两个交点；反过来，若抛物线丿=ax2+bx+c(a^)^x轴有两个交点，则A>0也成立.(2)当4=0时，抛物线y=ax2+bx+c(a^0)^x轴有一个交点(抛物线的顶点)；反过来，若抛物线y=ax2+bx+c(a^)与x轴有一个交点，则A=0也成立.(3)当AV0时，抛物线y=ax2+bx+c(a^)^x轴没有交点；反过来，若抛物线丿=ax2+bx+c(a/0)^x轴没有交点，则A<0也成立.于是，若抛物线y=ax2+bx+c(a煮))与x轴有两个交点A(X[,0),Bg,0),则心，x2是方程ax2+bx+c=0的两根，所以X1+X2—,XX2——,aabc即_=—(XiX2)9_=X[X2*aabc所以，y=ax2+bx+c=a(x2+—x+—)cia=d[x2—(xi+X2)X+X1X2]=a(x—x])(x—x2).由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线y=ax2+bx+c(a/0)^x轴交于A(xP0),B(x2,0)两点，则其函数关系式可以表示为y=a(x—xi)(x—x2)(«#0).这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法： 3・交点式：y=a(x—x})(x—x2)其中m七是二次函数图象与兀轴交点的横坐标.今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题H所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式來解题.例1已知某二次函数的授大值为2,图像的顶点在直线y=x+l上，并且图彖经过点(3,-1),求二次函数的解析式.分析：在解木例时，要充分利用题hl中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由隊I数图象过定点來求解出系数0.解：・・•二次函数的最大值为2,而最大值一定是其顶点的纵坐标，・••顶点的纵坐标为2.又顶点在直线y=x+上，所以，2=x+l,.x=.・・・顶点坐标是(1,2).设该二次函数的解析式为y=a(x-2)2+1(°<0),•・•二次函数的图像经过点(3,-1),・・・一1=°(3-2)2+1,解得°=一2.・・・二次函数的解析式为y=-2(x-2)2+l,BPj=-2x2+8x-7.说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题.因此，在解题时，要充分挖掘题冃所给的条件,并巧妙地利用条件简捷地解决问题.例2已知二次函数的图象过点(一3,0),(1,0),且顶点到兀轴的距离等于2,求此二次断数的表达式.分析一：由于题H所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与兀轴的交点坐标，于是可以将两数的表达式设成交点式.解法一：・・•二次函数的图彖过点(一3,0),(1,0),・••可设二次函数为y=a(x+3)(x-1)(°徂))，展开，得y=Qx2+2ax—3°,-2a2-4a2顶点的纵处标为—=-4af4a由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2,4^|=2,即a=±*.1313所以，二次函数的农达式为y=—x2+x—,或『=——x2—xH—.〜2222分析二：由于二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),所以，对称轴为直线x=-l,又由顶点到兀轴的距离为2,可知顶点的纵坐标为2,或一2,于是，乂可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然示再利用图象过点(一3,0),或(1,0),就可以求得函数的表达式.解法二：・・•二次函数的图象过点(一3,0),(1,0),・・・对称轴为直线兀=一1.乂顶点到x轴的距离为2,・••顶点的纵坐标为2,或一2.于是可设二次函数为>—«(%+1)2+2,或y=«(x+l)2—2,由于函数图象过点(1,0),.*.0=67(1+1)24-2,或0=g(1+1)2-2.11..a=~—,或a=_.22所以，所求的二次函数为y=——(x+1)2+2,或y=—(x+1)2—2. 说明：上述两种解法分别从与X轴的交点朋标及顶点的朋标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题.例3已知二次函数的图象过点(一1,-22),(0,-8),(2,8),求此二次函数的表达式.解：设该二次函数为y=ax2+bx+.由函数图象过点(一1,-22),(0,-8),(2,8),可得—22二d—b+c,<-8=c,8=4a+2b+c,解得a=—2,b=12,c=—8.所以，所求的二次函数为y=-2x2+12x-8.通过上面的儿道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用两数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？练习1.选择题：()(D)无法确定()(1)函数y=-x2+x-l图象与x轴的交点个数是(A)0个(B)1个(C)2个(2)函数y=—|(x+1)2+2的顶点坐标是(A)(1,2)(B)(1,-2)(C)(-1,2)(D)(-1,-2)2.填空：(1)已知二次函数的图象经过与兀轴交于点(一1,0)秋2,0),则该二次函数的解析式可设为y=a(a^O).(2)二次函数y=~x2+2y[3x+l的函数图象与x轴两交点之间的距离为・3.根据下列条件，求二次函数的解析式.(1)图象经过点(1,-2),(0,-3),(-1,-6)；(1)当x=3时，函数有最小值5,几经过点(1,11)；(2)函数图象与天轴交于两点(1一迈，0)和(1+^2,0),并与y轴交于(0,-2).