二次函数动点产生矩形问题

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1、二次函数压轴之矩形问题1.(2015宜宾)如图，抛物线y=--

2、x2+bx+c与x轴分别相交于点A(-2,0)、B(4,0),与y轴交于点C,顶点为点P.(1)求抛物线的解析式；(2)动点M、N从点0同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB、OC上向点B、C方向运动，过点M作x轴的垂线交BC于点F,交抛物线于点H.①当四边形0MHN为矩形时，求点H的坐标；②是否存在这样的点F,使APFB为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理市。1.（2015成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax；—2ax—3s（a<0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧

3、），经过点A的直线1：y=kx+b与y轴负半轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D,且CD=4AC.（1）直接写出点A的坐标，并求直线1的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；（2）点E是直线1上方的抛物线上的动点，若AACE的面积的最大值为亍，求a的值；（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点/、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由.备用图1.(2013-衡阳)如图，已知抛物线经过A(1,0),B(0,3)两点,对称轴是x=-1.(1)求抛物线对应的函数关系式；(2)动点Q从点0出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上

4、运动，同时动点M从M从0点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N,交抛物线于点P,设运动的吋间为t秒.①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；若不能，请说明理由.解：(1)根据题意，设抛物线的解析式为：y=a(x+1)2+k,•・•点A(1,0),B(0,3)在抛物线上，・・・(4°+k二°,解得：a=-1,k二4,La+k=3二抛物线的解析式为：y=-(x+1)2+4.(2)①•・•四边形OMPQ为矩形,・・・0M二PQ,即3t=-(t+1)2+4,整理得：t2+5t-3=0,解得「「5土佰,由于一-5-姮＜o,故舍去，22...当V37-5

5、秒时，四边形ompq为矩形；2②RtAAOB中，0A二1,0B二3,/.tanA=3・若△AON为等腰三角形，有三种情况：如答图1所示:答图3过点N作ND丄0A于点D,则D为0A中点，0吨。桔，,•诗(II)若0N二0A,如答图2所示:过点N作ND丄0A于点D,设AD=x,则ND二AD・tanA=3x,OD=OA-AD二1-x,在RtANOD中，由勾股定理得：OD2+ND2=ON2,即（1-X）2+（3x）2二1‘，解得Xi—,X2=o（舍去），X—,OD=1-X—,1=—；5555（111）若0A二AN,如答图3所示：过点N作ND丄0A于点D,设AD二x,则ND二AD・tanA=3

6、x,在RtAAND中，由勾股定理得：ND2+AD=AN即（x）2+（3x）2=1：!,解得X2二-卫丄^（舍去），「.OD二1-x二1-》卫，・：t二1101010-警.综上所述，当t为护、昔秒，（1一警）秒时，aaon为等腰三角形.1.（2013-常德）如图，己知二次函数的图象过点A（0,-3）,B（码，码），对称轴为直线x二-丄，点P是抛物2线上的一动点，过点P分别作PM丄x轴于点M,PN丄y轴于点N,在四边形PMON上分别截取PC」MP,MD二丄0M,0E二丄07,333NF二丄NP.3（1）求此二次函数的解析式；（2）求证：以C、D、E、F为顶点的四边形CDEF是平行四边形

7、；（3）在抛物线上是否存在这样的点P,使四边形CDEF为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由.（1）解：设抛物线的解析式为：y=a（x+-）2+k,2d+k二_3・・•点A（0,-3）,B（V3,V3）在抛物线上，•：,解得:a=l,)2+k=V3a4・・•抛物线的解析式为"宀尹+…（2）证明：如右图,连接CD、DE、EF.FC.TPM丄x轴于点M,PN丄y轴于点N,•••四边形PMON为矩形,APM=0N,PN=OM.TPC二丄MP,0E二丄ON,APC=OE；33NF二丄NP,AMD=NF,APF=OD.在ZPCF与AOED中,33(PC二OE{ZF

8、PC二ZDOE二90°AAPCF^AOED(SAS),・・.CF二DE.〔PF二OD同理可证：ACDM^AFEN,ACD=EF.VCF=DE,CD二EF,化四边形CDEF是平行四边形.(1)解：假设存在这样的点P,使四边形CDEF为矩形.设矩形PMON的边长PM二ON二叫PN二OM二n,则哙'咤"新PF=

9、.若四边形CDEF为矩形，则ZDCF二90。,易证△PCF^AMDC,12••里盘，即»斗，化简得：m2=n2,机配ln务即矩形PMON为正方形.•••