全国中学生物理竞赛决赛试题(3)

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1、第17届全国中学生物理竞赛决赛试题理论部分一、（共30分〉近来一种新型的定点起重设备“平衡吊”被广泛采用于几十到几百千克工件的频繁吊运，其结构的示意图如图所示。平衡吊主要由传动、杆系、回转座和立柱组成。杆系是由AED、DEF、BC、CE四杆餃接组成的四连杆机构，DECB在任何情况下都是一个平行四边形，杆系的A处是一水平的转轴，通过电机可控制转轴，使之固定在竖直槽內的不同位置。从而调节挂在磁于F处吊钩上的重物的高度。杆ABD可缺轴A在竖直平面内无摩擦收动。杆系的C点是能在光滑的水平槽上涓动的狡链，杆BC和EC都可绕C点在竖直平面内转动，绕狡链转动的

2、摩擦均忽略不计，下面用/俵示AD的长度，D表示AE的长度，心表亦DF的长度，人表不BC的长度。（1）若将各杆都视为轻质（无自重〉刚体，且无图中目腫物时，试论证人、如人应满足什么关系才能使平衡吊的吊钩（包括所吊的重物）位于不同位置时平衡吊都能处于平衡状态。（2）若考虑各杆的自重，为使平衡吊的吊钩（包括所吊的重物）位于不同位置时平衡吊都能处于平衡状态，必须在杆血ed的另一端p处力a上KS物，p点距A轴的距离为£。设配重物受到的重力大小为Gp，杆的負D段、DF段、EC段、CE段受到的重力的大小分别为5、G、G4和G5,不计杆的_AP段所受的重力，I可当

3、杆长石、】2、人和7p己知'且取/1=右，?2=人时配重Gp的大小为多少？二、（共30分）太阳风是从太阳大气夕卜层（称为日冕）不断向星际空间发I寸的稳定的、由相同数目的质子和电子构成的带电粒子流，它使太阳每年减少的质量相对于太阳质量Ms可忽略不计。观察表明，太阳风的速度大小卩随着与太阳中心的距离尸的增加而增大。现提出一简单的模型来解释太阳风的速度变化的机制：假定日冕中的大量电子可视为理想气体;日冕中的电子气是等温（温度为刀的、各向同性的，以球对称的速率灾）（太阳风的速率）向外膨胀；太阳风中质子的定向运动速度比电子的小得多，太阳风的速度其实是电子定

4、向运动的速度，太阳风可解释为日冕中的电子气向外的等温膨胀，记太阳风的速率丿随着与太阳中心的距离尸变化的变化率为若不考虑质子和电子间的相互般，试求r随尸变化的关系式巩厂）。三、（共25分）波兰数学家谢尔宾斯基1916年研究了一个有趣的几何图形，砌#如图2所示的一块黒色的等边三角形ABC的每一他长平分为二，再把平分点连起来，上运角形被分成四个相等的等边三角形，然后将中间的等边三角形挖掉，等到如图3的图形；接着再将剩下的黑色的三个等边三角形按相同的方法处理，经过第二次分割就得到图4的虧形，经三次分割后,又得到图5的图形。这是蒂有自相似特征的图形,这样的

5、图形又称为谢尔宾斯基镂垫。它的自相似性就是将其中一个小单元（例如图5中△BJK）适当方丈丈后，就得到图3的图形。如果这个分割过程继续下去，直至无穷，谢尔宾斯基镂垫中的黑色部分勺犠不断地镂空。B数学家对这类几何图形的自相似性进行了研究，创造和发展出了一

6、、谕对分形几何学"的新学科。近30多年来，物理学家将分形几何学的研究成果和方法用于有关的物理领域，取得了有意义的进展。我们现在就在这个背景下研究按谢尔宾斯基镂垫图形的各边构成的电阻网络的等效电阻问题：设按图2所示的三角ABC的边长U的电阻均为H经一次分割得到图3所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻

7、是原三角形AEC的边长的电阻r的丄；经二次分割得到2如图4所示的图形其中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻r的丄；4三次分割得到如图5所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻r的丄。8（1）试求经三次分割后，三角形ABC任意两个顶点间的等效电阻。（2）试求按阳S律作了n次分割后，三角形ABC任童两个顶点间的等效电阻。<3）由第二问可知对边长均为5、边长电阻均为r的电阻三角形ABG现用获得谢尔宾斯基镂垫的方袪进行分割，分割的次数越多，三角形ABC中每个小三角形的边长越短，参与计算等效电阻的小三角形的边长越多

8、,分割后的三角形ABC两顶点间的鞍电阻与其中的小三角形的边长有关。为了从“分形几何学”的角度讨论这个问题，我们先介绍二端电阻网络的“指数"的概念。考虑一长、宽、高分别为3、bxc的均匀长方形导体，如图6所示。若电流沿平行于导休长度a的方向流进导体，贝駭导体的垂直于电冼方向的两个端面间的电阻可表不为R=P二be式中p为导体的电阻率。若畤爪c不变，使另一边&的长度变化，并用L表示这一可改变的长度，这样构成的一维导体的电阻与L成正比，其电阻可表示为式中1被称为一维导体的指数。若保持c的长度不变，但使a边和b边的长度木勝且可以改变，并用L表示这一可改变的

9、长度，即a=b=L,这样构成的二维导体的电阻与可变的长度无关，可表示为^0）（£）=X?^oc£?式中0被称为二维导体的指数，若保持导体