11数列的概念与特点

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1、数列的概念与特征【知识点精讲】1、数列:按照一定次序排列的一列数(与顺序有关)2、通项公式:数列的第n项务与n之间的函数关系用一个公式来表示an=f(n)o(通项公式不唯一)3、数列的表示:(1)列举法:如135,7,9......;(2)图解法:由(n,aj点构成;⑶解析法:用通项公式表示,如an=2n+l⑷递推法:用前n项的值与它相邻的项之间的关系表示各项,如a1=l,an=l+2an.14、数列分类:有穷数列,无穷数列;递增数列,递减数列,摆动数列,常数数列;5、任意数列{aj的前n项和的性质Sn=ai+a2+a3+……+a.an=S]G=

2、1)S”-S,_(n>2)6、求数列中最大最小项的方法:最大最小an§5+1J§an-l7.数列与函数数列可以看作是一个定义域为正整数集N+(或它的有限子集⑴23…,77})的函数,当口变量从小到大依次取值吋,该函数对应的一列函数值就是这个数列.&数列的单调性名称定义表达式递增数列从第二项起,每一项都大于它前面的一项%>an递减数列从第二项起,每一项都小于它前面的一项Van常数列各项都相等厲+1=an摆动数列从第2项起,有些项大于它的前1项,有些项小于它的前1项的数列2.如何判定数列的单调性?提示:作差比较法①若-5>0恒成立,则数列{期}是递增

3、数列.②若-a”vo恒成立,贝懺列伽}是递减数列.③若an+~an=°恒成立,则数列伽}是常数列.【例题选讲】例2・观察下列数列的特点,用适当的数填空(1)1,4,9,(),25,36(2)1,1小,(1),(V7,),112丿2x1'2x2'2x4'2x5⑷血•(¥)〃5/32,(•昭2)例2、根据下面各数列前几项,写出一个通项(2)7,77,777,777,...;(4)5,0,-5,0,5,0p・5Q…;(5)1,0,1,0,1,0,...;解:(l)an=(-l)n(6n-5);⑵二#10"-1)⑶〜2n(2n一1)(2/?+1)u.

4、n7t5sin——2(hgN^,an=sin2—(neN*)[点评]根据数列前几项的规律,会写出数列的一个通项公式。—1/■I9n~—9m+2〕例3、已知数列{;>[9n2-lJ(1)求这个数列的第10项;(2)竺是不是该数列屮的项,为什么?101解:设/⑺)=9n2-9/1+29n2-l_3“_2—3〃+1(1)令n“0,得第10项;%()=—32(2)令却二2二竺,得9^=300,此方程无H然数解,所以不是其中的项3〃+1101[点评]数列问题转化为解方程,注意正整数解例4、下面各数列的前n项和Sn的公式,求{aj的通项公式.⑴Sn=2n

5、2-3n(2)Sn=3n-2由于“也适合此等式,所以色=4/2-5⑵%=S]二一1,当n$2时,an=S“一S-][点评]已知数列前n项和sm相当于知道了n^2时候a/旦不可忽视n=l.即an=n”一1n=ln>2例5•已知数列{"}中,an=n2-8/i⑴画出{d讣的图像;(2)根据图像写出数列{%}的增减性・【思路点拨】⑴当gN亠时,分别在平面直角坐标系中描出点(6弔)即可.(2)图像的上升或下降显示数列的增减性.【解】⑴列表n123456789•••an・7-12-15-16-15-12・709•••描点:在平面直角朋标系中描出下列各点即得

6、数列{6}的图像:(1,-7),(2,-12),(3,-15),(4,-16),(5,一15),(6,一12),(7,一7),(8,0),(9,9),…图像如图所示.⑵数列9门}的图像既不是上升的,也不是下降的,则{肋}既不是递增的,也不是递减的.【误区警示】画数列的图像的方法仅有描点法,其步骤是:①列表;②描点.要注意描点后不能连线,这是由于数列的定义域是N+・例6:判断数列{兀*了}的增减性.【思路点拨】利用数列的性质,或利用函数知识求解.【解】•an=3n+rn+1n+1°n+1=3(n+l)+l=3n+4,n+1n则g—有亦—E(n+l)

7、(3n+1)—n(3n+4)1(3/?+4)(3/?+l)=(3n+4)⑶2+I)'*/z?eN+,a/t+i—<3w>0,即an+>an,・°・数列{■^qyj-}为递增数歹Q.【规律小结】判断一个数列的增减性,常常用作差的方法,通过判断差的符号来确定.对nWN+,当an+l—an>0时,{an}为递增数列;当an+l—an<0时,{an}为递减数列;当an+l—an=Q时,{“}为常数列;当an+1—an的符号不确定时,{期}既不是递增的,也不是递减的,也不是常数列.自我挑战1.观察下列数列的特点,用适当的数填空(1)2,(V2),1,1/

8、2(2)2-1,4+—,(8——),16+—234(3)1,V2,(V4),22根据下面各数列前几项,写岀一个通项2414(Dy,—(2

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