下载高一数学55线段的定比分点教案

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1、5.4平面向量的坐标运算【基础知识精讲】1.平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴」E方向相同的两个单位向屋；、]作为基底，对任一•向量：，由平血向量基本定理知，有且只有一对实数(x,y),使得2二x；+y],则实数XJ-(x,y)叫做向量：的直角坐标(简称坐标)，记作：二(x,y)，其中x和y分别称为向量：的x轴上的坐标与y轴上的坐标，而:二(x,y)称为向量的坐标表示.相等的向量其处标相同.同样，朋标相同的向量是相等的向量.显然2仃，0),7=(0,1),6=(0,0)2.平面向量的坐标运算：(1)两个向量和与差的朋标分别等于这两个向量相应朋标的和与差：a±&=(

2、xi±x2,yi±y2)(其中a=(xi,y2)、b=(x2,y2)).(2)—个向量的坐标等于表示此向量的冇向线段的终点的坐标减去始点的坐标.如果A(xi,y】)、(X2,y2),J0IJAB=(xi-x2,yi-y2)(3)实数与向量的积的处标等于用这个实数乘原來向量的相应址标.若Q二(X,y),则入Q二aX,xy)3.向量平行的处标表示已知向量°、b^6),则的充要条件为存在实数入，使Q二入庁.如果a=(xi,yi),b=(x2,y2)()则a//b的充要条件为:xiy2-x2yi=0.平而向量的处标表示，实际是向量的代数表示，此入向量的处标表示以后，可以使向量运算完全代数化，将数

3、与形紧密地结合起來，这样很多的儿何问题的证明，就可以转化为学牛熟悉的数量的运算.两个向最相加减，是这两个向量的对应坐标相加减，这个结论可以推广到冇限个向最相加减.【重点难点解析】1•向量：的坐标与表示该向疑的有向线段的起始点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系，即两个向最不论它们的起始点坐标是否相同，只要这两个向最的坐标相同，那么它们就是相等向最.两个向量如果是相等的，那么它们的坐标也应该是相同的.2.向量忑的坐标是终点的坐标减去始点的对应坐标，而不是始点的坐标减去终点的坐标.3.实数入与向量：的积的运算时，入应与：的相应坐标相乘，以下的结论都是错误的.设Xgr,a=(x,y)Xa=

4、X(x,y)=(Xx,y)或入a二入(x,y)=(x,Ay)例1若向量a=(x+3,x2-3x-4)与AB相等，其中A(l,2),B(3,2),则x二解:VA(1,2),B(3,2)则冇屈=(2,0).乂・・・a=4B,・••它们的处标一定相同./.rx+3=2xs-3x-4=O/.x=-l・・・应填：-1i〜16—f例2已知a=(3x+4y,”y),b=(2Hy+l,-3*y+3),若2®,试求x与y的值.分析：这里可以根据条件2a=3b建立关于x,y的方程组，通过解方程组即可求得x与y的值.解：Va-(3x+4y,-2x-y),_16b=(2x-3y+l,-3x+—y+3)•:由2a

5、二3b可得:(6x+8y,-4x_2y)=(6x-9y+3,-9x+—y+9)3・・••有彳「6x+Sy=6x-9y+3I,16t-4x~2y=-9x+—y+93解得＜1r-X=2—117L3Jy=—17说明：这里的题设条件2a=3b，其实它反应了向量a,方同向,并且2丨aI=3II,BPIaI=-II,2所以a,的坐标应成比例，即a的横.纵坐标分别与b的横纵坐标z比相等n都等于2例3已知平行四边形三个顶点是(3,-2),(5,2),(-1,4),求第四个顶点的坐标.解：如图,设OA=(3,-2),OB=(5,-2),OC=(-1,4),OD=(x,y)依题意，AB=DC或AC二DB或A

6、B二CD由AB=DC,nJ得：OB—OA=OC—OD即(5,2)-(3,2)=(-1,4)-(x,y)O(2,4)=(T-x,4-y)•-l-x=lI4-y=4/.D(-3,0)rx=-3^y=0同理，若AC=DB可得：(-4,6)二(5-x,2-y).Ax=9,y二_4,AD(9,4)若亦二CDnJ"得：(2,4)=(x+l,y-4)/.x=l,y=&・・・D(1,8)・••点D的坐标为(-3,0)或(9,-4)或(1,8)例4已知IaI=10,b=(3,-4),且a〃忘求a•解：设a=(x,y),则有xz+yz=100「x=6解得-4x-3y=0Iy=-8/•a=(6,-8)或(-6

7、,8)例5已知a=(3,2),ft=(-2,1),c二⑺-4)，用a，b表示c.解：设c=ma+nZ?,即⑺-4)=m(3,-2)+n(-2,1)3m一2m=7一2m+a?=-4c-a-2b例6如图，已知凸四边形ABCD中，E、F分别是AB与CD的中点，试证：2EF二AD+BC分析：木例是实数与向量积，但川向量的坐标运算进行论证，其思路明确，过程简单.0证明：设A(xi,yi),B(x2,y-z),C(x3,y3),D(xt,y4)