乘法公式-根式-分解因式——老师用

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1、初高中衔接教材一、数与式的运算一)、必会的乘法公式【公式1}(a+h+c)2=a~+b24-c24-2ab+2hc+2ca证明：(d+b+c)?=[(d+b)+c『=(tz+/?)2+2(a+b)c-^c2=/+2ab+/?2+Zac+2bc+c?=a，+b2+c?+2ab+2bc+2ca・••等式成立【例1】计算：(兀2一屈+丄)2解：原式=[x2+(-V2%)+-]2=(/)2+(-72%)2+(丄)2+2兀2(-V2)x+2x2x-+2x-x(一JIx)4_rr3822-/21=x—2a/2xH—

2、x~xH—339说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幕或升幕排列.【公式2](a+b)(a2-ab^b2)=a3(立方和公式)证明：«+/?)(/-6f/?+Z?2)=6z3-crb^ab1+a2b-ab2+//=a‘+戾说明：请同学用文字语言表述公式2.【例2】计算：(2a+b)(4a2-2ab+b2)=8a3+b3【公式3](a-b)(a2+ab+b2)=a3-b'(立方差公式)1•计算(1)(3x+2y)(9x2-6xy+4y2)=(2)(2x-3)(4x2+6xy+9)=(1)—m——U3

3、；(丄宀b+丄)469(4)(a+b)(a2-ab+b2)(a~b)(a2+ab+b2)=2.利用立方和、立方差公式进行因式分解(1)27m3-n3=(2)27m3--n3=8(3)x3-125=(4)nf-r?二【公式4】(a+b)3=a3+Z>3+3a2b+3ab2【公式5】(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3【例3】计算:(1)(4+772)(16-4加+m2)(1)(a+2)(a-2)(q“+4a~+16)(4)(x~+2xy+y2)(x~-xy+j;2)2解：(1)原式二4'+m3=64

4、+m3(2)原式二(丄肋'_(丄力‘二丄加3_丄农3521258(3)原式二3_4)(a4+4/+军)=3)3_43=a6-64(4)原式=(x+y)2(x2-xy+j2)2=[(x+y)(x2-xy+y2)]2=(x3+y3)2=x6+2兀V+y&说明：(1)在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构.(2)为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和]、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的.【例4】己知兀2一3兀+1=0,求兀‘+丄的值.解：vx

5、2-3x+l=0・・.兀工0・••兀+—=3原式二(xH—)(兀2—1h—)=(xH—)[(xH—)2—3]=3(3~—3)=18XXX说明：木题若先从方程＜-3x+l=0中解出％的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐.本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算•请注意整体代换法.本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举.bccaab【例5】已知d+/7+c=0,求°(丄+丄)+5(丄+丄)+C(丄+丄)的值・解：Ta+b+c=O;a+b=-c、b+c=

6、一a,c+a=-ba+baba3+戾+c3abca3+b3=(a+b)[(a+b)2-Sab]=-c(c2-3ab)=-c3+3abc/.a3+/?'+c3=3abc②，把②代入①得原式二—丸久=—3说明：注意字母的整体代换技巧的应用.二)、根式式子y/a(a>0)叫做二次根式，其性质如下:(1)(4a)2=a(a>0)(3)[ah=4a•4b{a>0,/?>0)”二車(d>0Q0)aJa【例6】化简下列各式:(1)_2)2+-1)2(2)J(1-X)2+J(2_x)2(x>1)解：(1)73-2

7、+

8、

9、73-11=2-73+73-1=1*(2)原式二

10、x—1

11、+

12、兀—2

13、=(x-l)+(x-2)=2x-3(x>2)(x-l)-(x-2)=l(l

14、2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式.化简吋，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来;②分母中有根式（如品）或被开方数有分母（如占）.这时可将其化为y/a式（如£可化为书转化为“分母中有根式”的情况•化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简.（如32+V3为3(2(2+73)(2-73)其中2+的与2-巧叫做互为有理化因式）・有理化因式和分母有理化有理化因