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《专题40+立体几何中的向量方法（教学案）-2019年高考数学（理）一轮复习精品资料》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、1.理解直线的方向向量及平血的法向量；2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.4.能用向量方法解决直线与直线，直线与平面，平面与平面的夹角的计算问题;5.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.重点知识梳理1.直线的方向向量与平面的法向量的确定⑴直线的方向向量：/是空间一直线，A,〃是直线/上任意两点，则称肋为直线/的方向向量，与云平行的任意非零向量也是直线/的方向向量.(2)平面的法向量可利用方稈组求出：设20是平面Q内两不共线向量，Z2为平面。的法向量，则求[n・a=0,法向量的方程组为
2、’°[n・b=Q.2.用向量证明空间中的平行关系⑴设直线厶和的方向向量分别为□和#2，则1//1A或厶与重合)0Vll卩20匕=久Vi.(2)设直线/的方向向量为K,与平而Q共而的两个不共线向量□和K2,则1//a或/uQO存在两个实数X,y,使V=xK.+yy2.(3)设直线/的方向向量为K,平面a的法向量为u,则1//ci或/ua<=>v±u<=>u^f=0.(4)设平而。和0的法向量分别为"，“2,贝I」a〃ueu=Au>.3.用向量证明空间中的垂直关系⑴设直线厶和<2的方向向量分别为I和“2,则厶丄110X丄SQ—•*=0.(2)设直线/的方向向量为K
3、,平面。的法向量为贝IJ/丄QOV卄U0V=久U.(3)设平面a和0的法向量分别为u和"2,则a丄0O弘丄sou・"2=0・4.空间向量与空间角的关系(1)设异面直线Z,Z的方向向量分别为血，皿，则厶与厶所成的角〃满足cos0=Icos伽，血〉_丨皿丨・丨如(2)设直线/的方向向量和平面a的法向量分别为皿n,则直线/与平面a所成角〃满足sin0=m•n—1m•ncos〈皿刀〉(3)求二面角的大小(i)如图①，AB,C"是二面角ci-l-P的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小0=〈丽,(ii)如图②③，n.,m分别是二面角a_1—B的两个半平面a,B的法向量，
4、则二面角的大小〃满足
5、cos0
6、=
7、cosS,m〉,二面角的平面角大小是向量□与忌的夹角(或其补角)•1.点面距的求法如图，设为平面Q的一条斜线段，厂为平面a的法向量，则〃到平而a的距离〃=座高频考点突破高频考点一利用空间向量证明平行问题【例1】如图所示，平面/%〃丄平面血/C"ABCD为正方形,△/%〃是直角三角形，且/%=血=2,E,F,0分别是线段刊，PD,d的中点.求证：丹〃平面顾D证明•・•平面期D丄平面ABCD?且ABCD为正方形〉:AP?ZD两两垂直.以川为坐标原点，建立如右图所示的空间直角坐标系A-xyz,则J(0,0,0),B(2,0,0),C(2
8、,2,0),〃(0,2,0),P(o,0,2),Mo,0,1),AO,1,1),6*(1,2,0).法一二丽1,0),EG=(1?2?-1),设平面EFG的法向量为v,z),n-EF=C?[_n-EG=C?lx+2v-z=0,令2=1,则幷={1,0,1)为平面防G的一个法向量,'PB=(2?0,一2)>:.PBn=Q?"丄PR,・.・肋□面EFG,:.PBII平面迟FG.法二莎=(2,0,-2),丘=(0,-1,0),云=(1,1,-1).设PB=sFE+t~FG,即(2,0,一2)=s(0,-1,0)+f(l,1,-1),t=2,：.Ls=0,解得s=t=2
9、.:.PB=2FE+2FG,—t=—2,又•・•丘与云不共线，・•・筋，丘与危共面.・.・加平面EFG,・・・PB//平面EFG.【方法规律】(D恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键.(2)证明直线与平面平行，只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向暈与平面内的不共线的两个向暈共面，或证直线的方向向暈与平面内某直线的方向向暈平行，然后说明直线在平面外即nJ.这样就把儿何的证明问题转化为向量运算.【变式探究】如图，平面丹C丄平面A5G是以为斜边的等腰直角三角形，E,F,0分别为PA,PB,的中点，应7
10、=16,PA=PC=O.B设6•是％的屮点，证明：代;〃平面〃％证明如图，连接0P,•:PA=PC,0是化的中点,:.POLAC又J面PACL而ABC,:.POV而ABC,•・•△/%是以化为斜边的直角三角形，・・・网丄M所以点0为坐标原点，分别以防，0C,〃所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空I'可直角坐标系0—则0(0,0,0),水0,-8,0),〃(8,0,0),6*(0,8,0),P0,0,6),£(0,—4,3),F(4,0,3).由题意，得(7(0,4,0).因为亦=(8,0,0),亦=(0,-4,3),设n=(x,y,?)为面〃6疗的法向量，则刀・
