2016年上海市高中数学竞赛试题及答案资料

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1、2016年上海市高中数学竞赛试题及答案一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）1.已知函数（，均为常数），函数的图象与函数的图象关于轴对称，函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的解析式为．答案：解在函数的表达式中用代替，得，在函数的表达式中用代替，得2.复数满足，在复平面上对应的动点所表示曲线的普通方程是．答案：解设，则，从而，于是3.关于的方程的解是．答案：解因为，所以，解得，则4.红、蓝、绿、白四颗骰子，每颗骰子的六个面上的数字为，则同时掷这四颗骰子使得四颗

2、骰子向上的数的乘积等于，共有种可能．答案：48．解四颗骰子乘积等于36，共有四种情形：（1）两个1，两个6，这种情形共种可能；（2）两个2，两个3，这种情形共种可能；（3）两个3，一个1，一个4，这种情形共种可能；（4），各一个，这种情形共种可能．综上，共有种可能．5.已知函数，若存在，使成立，则实数的取值范围为．答案；解易知时，只需求的取值范围，使得能取到中的值．（1）当时，单调递增，因为，故只需，解得（2）当时，单调递减，因为，故只需，解得6.如图，有16间小三角形的房间，甲、乙两人被随机地

3、分别安置在不同的小三角形房间，那么他们在不相邻（指没有公共边）房间的概率是（用分数表示）．答案：解法一如图1，将小三角形房间分为三类：与第一类（红色）房间相邻的房子恰有一间，与第二类（绿色）房间相邻的房间恰有两间，与第三类（白色）房间相邻的房间恰有三间，从而满足条件的安置方法共有种．从而所求概率为解法二我们从反面考虑问题，如图2，每一对相邻房间对应着一条黄色的邻边，故所求概率为7.在空间，四个不共线的向量，它们两两的夹角都是，则的大小是．答案：解如图，为正四面体，角即为，设分别为和的中点，则，则

4、中心在上，从而为△的垂心，所以，8.已知，则的取值范围为．答案：．解注意到，及我们有，所以二、解答题（本题满分60分，每小题15分）9.如图，已知五边形内接于边长为1的正五边形．求证：五边形中至少有一条边的长度不小于证设的长分别为则由平均数原理，中必有一个大于，不妨设，则此时所以，命题得证．10.设和是素数，且，求的所有可能的值．解由题设可得，因为所以，于是为正整数．记，注意到，则从而由对称性，不妨设若，则，矛盾，故若，则，，矛盾．若，则，也矛盾．故最后，由，得综上，11.已知数列满足递推关系，

5、求所有的值，使为单调数列，即为递增数列或递减数列．解由得，，令，则从而，则若，注意到，则当时，与同号，但正负交替，从而正负交替，不为单调数列．当时，为递减数列．综上，当且仅当时，为单调数列．12.已知等边三角形的边长为5，延长至点，使得，是线段上一点（包括端点）．直线与△的外接圆交于两点，其中（1）设，试将表示为关于的函数；（2）求的最小值．解（1）设，则在△中，由余弦定理，得在△的外接圆中运用相交弦定理，得两式相减，得故（2）设，则当且仅当时等号成立，此时解得所以，当时，取到最小值