从一个轨迹问题开始的探究

《从一个轨迹问题开始的探究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、4-22数学教学2009年第4期从一个轨迹问题开始的探究200439上海交通大学附属中学冯明胜杨逸峰我们先来探讨这样一个求动点轨迹的问题：3一b'一个长轴为20、短轴为26的动椭圆与两互得8+3=a+b．相垂直的定直线恒相切，求椭圆中心的轨迹方程．所以两直线的交点的轨迹方程为X+Y=这道题直接的解法是以两直线的交点为原02+62点，两直线为坐标轴，椭圆移动，从而求出椭圆中．那么以两直线交点为原点，椭圆中心在动，心的轨迹方程．轨迹方程就是X+Y=a+b吗?显然是不可但我们平时习惯于以椭圆中心为原点建立能的，因为椭圆中心不可能连续地从第一象限

2、移坐标系，第一次看到这个问题似乎无从下手．于动到第二象限．是想到“转化”．能否转化为与之等价的一个相对但是，两者之间是否就毫无关系呢?下面进熟悉的问题呢?以椭圆中心为原点建立坐标系，行一下探索．求出与之相切的两互相垂直的直线交点的轨迹，以两直线为坐标轴，并使椭圆位于第一象限，由相对位置关系，再间接地求出椭圆中心的轨迹如图2建立坐标系．设椭圆中心M(x，)、焦点方程．F1(Xl，y1)、(X2，y2)，则如图1，以椭圆中心为原点，长轴为轴，建立平面直角坐标系．椭圆方程为X2+y2’2一Xl⋯⋯⋯⋯⋯⋯=1(n>I2．．()y=Yl+Y2．b

3、>01．一／，图2图1设F1关于轴的对称点为，F2关于轴的设P(xo，yo)，直线Y=k(x—0)+0．直线对称点为，则-xl，y1)、(2，一y2)．根与椭圆交点的横坐标满足据椭圆的光学性质：自一个焦点发出的光线经椭【(—X0)+yo]一1In2b2一’圆反射后，必经过另一焦点，知、1、F2共线．’即(b+a2)+2ak(yo—kXo)X+a2(0一．．(2a)=IF2I。kxo)一a2b=0．=(一l—x2)+(Yl—Y2)两者相切时，应有△=【2ak(yo一o)】。一=(z1+X2)。+(Y1一Y2)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯·(1)4(b+a

4、2k)[0(Yo—kXo)。一a2b】=0．同理(2a)。=IF1I。即(3一n2)尼一2xoYok+垢一b2=0．=(Xl—2)+(Yl+y2)．⋯⋯⋯⋯⋯⋯·(2)由k】k2=一1，(下转封底)“’’匣虱教育也需要实现走向世界的知识转张奠宙赵小平“”复旦大学新成立了社会科学高等研究院“，我们认为优质的数学教育应该是坚实基础’“院长邓正来发表演讲(刊于2008年12月2713+发展创新．我们在从西方引进自主、探究、“”的《文汇报》)，其中第三段的标题是：实现走合作的数学教育方式的同时，可以向世界提供”“．：向世界的知识转型文中指出中国社

5、会科学某些中国特色的数学教育理论与实践．美国总统‘’‘’‘’必须从此前的引进、复制、与国际接轨的委任的关于数学教育的委员会提出的报告是《为‘’‘、oundationsforSuccess阶段，迈向走向世界与世界进行实质性的思了成功需要基础(F)))．如’”想对话和学术交流的新阶段，认为必须从因为果人家问我们：中小学生打好数学基础是为了什“”“”西方化倾向所导致的中国之缺位中解放出么?怎样才能打好数学基础?我们将如何应答?来．事实上，中国数学教育在如何打好基础上应该有一教育是社会科学的部分．中国的数学教话可说．“”一育正在努力走向世界．20

6、04年在新加坡出版中国数学教育研究和中国的社会科学样，“”的英文著作((HowChineseLearnMathemat—同样应该实现知识转型，力求与世界进行实质i“”cs(华人如何学习数学)》(中文版《华人如何学性的对话与交流，以弥补中国之缺位．本刊当习数学》2005年由江苏教育出版社出版)是一个尽力为之，也冀望本刊的作者和读者能够响应并例子．作出贡献．～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～。。。。上接—22页z=ab≤z≤ab≤Y≤0(第4)+Y+b(，)．。。。一=

7、z1一X2一⋯个有趣的事情：两者之间除了范又IFlF2l()+(Y1Y2)．(3)我们发现一一(1)+(2)一(3)得围不样外，方程表达式是完全样的，而且，从一一一。。。。图形上看，后面个曲线是前个曲线的部分．=(Xl+z2)+(Yl+Y2)4a+4b．这是一个巧合还是一个必然?于是我们提出2222半--=a⋯⋯⋯4将()代入得z4Y+b．()这样一个开放性的问题让大家继续探讨：。。。由(12x：Xl+x2≤(2a)知()())，对于相对运动的A、B两点，当我们以点A．．．z≤aM(4)，有Y≥b．为坐标原点时B，动点的轨迹为CB；当我们

8、以同理Y≤az≥b．，点JE}A的轨迹为CA为坐标原点时，动点，则CA所以椭圆中心的轨迹方程为与CB有什么关系?-：5一：CN31-1024G412日出：4357定价．50元国内统刊号／每月版