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1、1引言12微分方程积分因子的概述13各种类型微分方程积分因子的存在性23.1微分方程具有特殊积分因子的充要条件23.2特殊结构微分方程具有积分因子的充要条件54求解积分因子的方法64.1求解积分因子的主要方法64.1.1观察法64.1.2分组凑微分法84.1.3重新组合法94.1.4公式法94・2特殊结构微分方程积分因子的求法105结束语13参考文献14致谢15在特殊微分方程中求积分因子的方法数学系本1104杨海霞指导老师：王鹏飞摘要：本文讨论了微分方程具有特殊积分因子存在的充要条件，主要讨论了求解积分因子的几种基本方法，包括观察法、分组凑微分法、重新组合
2、法、公式法，并且对满足某些特殊条件的微分方程，结合实例研究了如何简单、有效的求其积分因子的特殊方法，从而提高求解微分方程的效率，便捷地求出其通解。关键词：微分方程；积分因子；充要条件；求解方法InspecialdifferentialequationsofintegralfactormethodDepartmentofMathematics,the1104squadYangHai-xiaInstructor:WangPeng-feiAbstract:Thisarticlediscussesthedifferentialequationwithspecial
3、necessaryandsufficientconditionforexistenceofintegratingfactors,mainlydiscussestheseveralbasicmethodsforsolvingintegralfactor,includingthemethodofobservationgroupdifferentiationtosetlegalformulamethodandthedifferentialequationtosatisfysomespecialconditions,combinedwithcasestudyhow
4、simpleandeffectiveforitsspecialmethodofintegratingfactor,soastoimprovetheefficiencyofsolvingdifferentialequations,easilyfindoutthegeneralKeywords:differentialequations;integratingfactor;sufficientandnecessarycondition;solvingmethod1引言微分方程是数学分析的主要部分，也是高等分析里大部分思想和理论的根源。其积分因子的相关内容并不是
5、很多，因此我们在学习的过程屮很难理解和掌握，而且求积分因子的方法和过程具有更大的灵活性与技巧性，那么在解题过程中怎样才能简单、有效地求出结果呢？正确求解积分因子的前提是对求解方法相当熟练，在此基础上再仔细观察微分方程的结构特点，灵活使用各种方法，从而可以顺利地求出积分因子，便捷地求出其通解。本文通过对各种题型、各种解题方法的分析探究，总结归纳了求解积分因子的基本方法和几种特殊结构微分方程的解法，希望可以提高求解积分因子的速度，从而提高求解微分方程的效率。很多学者在微分方程积分因子方面己经作了一定的研究，但主要是针对一般的方程，给出的也是一般的积分因子及积分
6、因子的构造方法，目前的研究在关于求积分因子的系统性方而还有待进一步探讨，以求更加深刻。本课题在原有研究的基础上进行了更多方面的研究，更加系统地对积分因子的存在性及求法进行阐述，下面结合实例讨论特殊积分因子法求解满足特殊条件的微分方程。2微分方程积分因子的概述本文中，我们将研究微分方程M（x,y）dx+y）dy=0（1）对于微分方程（1）,如果存在可微函数比（兀）»，使得du{x9y）=M（%,y）dx+y）dy即*=,竽=N（x,y）oxdy则称（1）为全微分方程或恰当微分方程，那么ud，y）=C（C是任意常数）是方程（1）的通解。对于微分方程（1）,如果
7、存在不恒等于零的连续可微函数“（兀,y）,使得方程〃（兀,y）M（x,y}clx+“（x,y）N（x,y）dy=0（2）是全微分方程，则称//（x,y）是微分方程（1）的积分因子⑴。通过计算得，是（1）的一个积分因子的充要条件是：嘤"二啤Q,即:dyuxdN}3各种类型微分方程积分因子的存在性3.1微分方程具有特殊积分因子的充要条件本文中，我们讨论微分方程具有特殊积分因子的充要条件，接下*给出定理121:方程M（x,y）ch+y）dy=0具有形状p=“啾兀,y）］的积分因子的充要条件是（学-竽丫N学—M喚=血3）］,且其积分因子为:心y）=小以。Idyox
8、人oxdy）证明：•・•M（x,y）dx+y）dy=0有积分因子的
