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1、一、选择题1•关于渐开线和摆线的叙述，正确的是()A.只有圆才有渐开线B.渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C.正方形也可以有渐开线D.对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同解析本题主要考查渐开线和摆线的基本概念.不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同.对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同.答案Cx=3cos(p尹=3sin(
2、p(卩为参数)，那么圆的摆线方程中与2.已知一个圆的参数方程为)解析根据圆的参数方程可知，圆的半径为3,那么它的摆线的参数方程为x=3((/?—sin69),7TZ1、(卩为参数)，把0=彳代入参数方程中可得(1—COS(p)乙即3T-1L兀=33=3,AAB=3_3兀2_T+(3-2)2=V10.答案C3.如图所示，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH-叫做“正方形的渐开线”,其中/E、EF、FG、…的圆心依次按B、C、D、/循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH长是B.4兀D.671A3兀C.57T解析根据渐开线的定义可知，応是半径为1的+圆周长，长度为申，继续旋转
3、可得参是半径为2的扌圆周长，长度为兀；局是半径为3的+圆周长，长度31为迈;命是半径为4的a圆周长，长度为2九所以曲线AEFGH的长是5九答案C二、填空题[x=6(cos°+°sin°),4•渐开线…、(0为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的3=6(sin(p—(pcos(p)横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为.解析根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r=6,其方程为?+/=36,把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为^2+/=2236,整理可得缶+豈=1,这是一个焦点在兀轴上的椭圆,c=yla2-b2=屮44—36=6晶故焦点坐标为
4、(6萌，0)和(一6越，0).答案(6书,0)和(一6萌，0)5.我们知道关于直线尹=兀对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线t=r(0—sin69)、7、w为参数)关于直线对称的曲线的参数方程为=r(1—cos(p)解析关于直线尹=兀对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了X与尹的互换.所以要写出摆线方程关于直线歹=兀的对称曲线方程，只需把其中的X与尹互换.£=r(1—cos°),(.、(。为参数)=r(y—sin(p)三、解答题6.有一个半径是加的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点M,与轮子中心的距离是G,求点M的轨迹方程.解如图：B点坐标为(2两，2(7),MB=(
5、asm(p,acos°),设加=(x,叨，0M=0B+BM=(2a(p.2a)+(~asin0—qcos0)=(2q°—asiri(p,2q—qcos(p)y—a(2y—sin0)，=a(2—cos0).t=1+6cosa,cIw.(a为参数)和直线l对应的普通方程=2+6sina是x—y—6y[2=0.(1)如果把圆心平移到原点O,请问平移后圆和直线有什么关系?(2)写出平移后圆的摆线方程；(3)求摆线和x轴的交点.解(1)圆C平移后圆心为0(0,0),它到直线x—y—6迄=0的距离为〃=辟=6,恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的.(2)由于圆的半径是6,所以可得摆线方程是
6、t=6®—6sin(p,=6—6coscp(0为参数).(3)令尹=0,得6—6cose=0=>cos©=,所以0=2刼伙WZ).代入兀=6°—6sin申,得x=2gk~,即圆的摆线和x轴的交点为(12加,0)(*EZ).&设圆的半径为8,沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴相切于原点O,记圆上动点为它随圆的滚动而改变位置，写岀圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y的最人值，说明该曲线的对称轴.解轨迹曲线的参数方程为(0W/W2兀).Jx=8(/—sin/)[y=8(1—cos/)即(=兀时，即兀=8兀时，y有最大值16.第一拱(0WW2町的对称轴为x=8兀.
