微分方程模型介绍

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1、微分方程模型介绍在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。微分方程模型反映的是变量Z间的间接关系，因此，要得到直接关系,就得求微分方程。求解微分方程有三种方法：1）求解析解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。建立微分方程模型的方法：1）利川数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等來建立微分方程模型。2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元Z间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现

2、象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。数学建模流程图解问题分析■模型假设下面我们以生态学模型为例介绍微分方程模型的建立过程:一.单种群模型I.马尔萨斯(Malthus)模型假定只有一个种群，N(r)表示r时刻生物总数，厂表示出生率，/()表示初始时刻，则生物总数增长的数7模型为皿恥),dt叽i不难得到其解为N⑴=2.密度制约模型由马尔萨斯模型知，种群总数将以儿何级

3、数增长，显然与实际不符，因为种群密度增人时,由于食物有限，生物将产生竞争，或因为传染病不再按照增长率尸增长，因而有必要修改,在(1)式右端增加一项竞争项。dN(f)dr⑴(1—字)其中K为最大容纳量，可以看出当N(t)=K时，种群的规模不再增大。这个模型就是著名的Logistic模型，可以给出如下解释：由于资源最多仅能维持K个个体，故每个个体平均需要的资源为总资源的丄，在/时刻个体共消耗了总资源的兰®此时资源剩余1-上©,KKK因此Logistic模型表明：种群规模的相对增长率与当时所剩余的资源份屋成正比，这种种群密度对种群规模增长的抑制作

4、用。称为密度制约。显然当不考虑密度制约因素吋，Logistic方程就变成了Malthus模型。由方程(2)可见，种群规模冇两个平衡态N⑴=0;N(“=K,易知其解曲线的分布如下图(可由两数单调性讨论得到)二两种群相互作用的模型20世纪20年代，意大利生物学家Ancona在研究鱼类变化规律时，无疑中发现了第一次世界人战期间，意人利Finme港收购站的软骨掠肉鱼(鲨鱼等以其它鱼为食的鱼)在鱼类收购最中的下述比例资料：年代19141915191619171918百分比11.921.422.121.236.4年代191919201921192219

5、23百分比27.316.015.914.819.7使Ancona感到惊奇的是：在战争期间掠肉鱼的捕获比例显著增加，起初他认为是这是由于战争使捕如量减少，掠肉鱼获得了更充裕的食物，从而促进了它们更快地繁殖牛长，但再转念一想，捕获量的减少也应同样有利于非掠肉鱼，为什么会导致掠肉鱼的比例上升呢？Ancona无法川生物学的观点去解释这一现彖，于是就去请教他当时的同事、意大利著名的数学家、后来成为他女婿的V.Volterra,希望他可以通过数学来解释这个现彖。V.Volterra把鱼分成两大类：掠肉伯(捕食种群)和食用仇(食饵种群)。为了建立数学模型

6、，他用丿⑴表示/时刻Finmc港中掠肉鱼的数虽，用兀⑴表示/时刻食用鱼的数量。1.无捕捞情况下的模型假定，若不存在捕食者y⑴时，食饵种群规模兀⑴的增长符合马尔萨斯方程，即—=ax(t)dr')具屮0为增长率，当捕食者存在y⑴时，单位时间内每个捕食者对食饵的吞食量与食饵种群规模x(f)成正比，比例常数为b>0从而冇普Lag-加⑴M)再假定捕食者吞食食饵以后，立即转化为能虽，供给捕食种群的繁殖增长(略去时滞)，设转化系数为捕食种群的死亡率与种群规模成止比，比例系数为d。于是冇=ahx(t)y(t)-dy(t)这样，Voltcrra便得到由捕食者

7、打食饵所构成的两种群相互作用的数学模型dr一drdy-drz—<=ax-bxy=cxy一dy其中c=abo这是一个非线性微分方程，我们对它进行定性讨论。A：确定平衡点(驻点，稳定点)ax-bxy=0(1a由<；解得两个平衡位置0©0);cxy-ay=0chB:考虑各个平衡点的稳定性对O(0,0),考虑其一次线性近似系统0一--dr-drd)-dr厂—「I得到其特征方程为仇-d）（/l+b）=0,得到特征根&二。>0；入二一bvO,易知具有正实部的特征根，所以有常微分方程的知识知平衡点0（0,0）是不稳定的。对平衡点作变换x=x--yy=

8、y--t将坐标系平移，系统（3）化为cbcbd¥-dzd)drr———1——」可用同样的方法讨论其稳定性。（稳定但IF•渐近稳定）「同号——结点r「相界（非零）实根y实根J1异号