牛顿三叉函数

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1、b“牛顿三叉函数”J=—（n^rneZ）•A海口市第一中学潘峰一、课题由来：1.（全国高考试题）函数f（x）=--x的图象关于（）A.y轴对称B.直线y=-x对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称2.（上海高考试题）已知函数/（x）=〒+£（%北0,常数gGR）.X（1）讨论函数/（力的奇偶性,并说明理由；⑵若函数/（力在XW[2,+。。）上为增函数，求0的取值范围.43•你能写出函数f（x）=x---的几条基本性质？以上三道试题都出现了类似“耐克”函数的函数,但是性质不同，因此引发了我们进行研究的兴趣.通过上网搜索发现，第2题中的函数/（x）=x2+-a^0,常数aeR）的图象称之为

2、“牛顿三叉曲线”，在这里，我们不妨称该函数为“牛顿三叉”函数，接下来我们研究b该函数及其变式（形如y=血"+匚（仏加wZ））.X二、研究过程对于函数y=Z）,我们分四类进行特例研究，分别为料=m都为奇数;Xn=m都为偶数；〃为奇数，也为偶数；〃为偶数，加为奇数.1.当n=m都为奇数时，同时改变的符号，选择几个特例进行观察研究（由于过程中极值点的取值对于一般形式难以研究得到，于是利用特殊值法（令a=±l,b=±l）进行研究，具体问题用基本不等式求解极值点），如X7、1y=—jc—xVA1111.1V：Ax33111101y=x1011x1011=-x101y=-x101101得到如下

3、共同性质：(1)定义域:xe（-oo,02（0，+°°）(2)值域：①当d上同号时为(YO,—2j^)U(2倔,+OQ)(由基本不等式可得);②当异号时为R；(3)奇偶性：奇函数(关于原点对称)(4)单调性：①当同正时，函数在(-oo,-2J

4、),(2J

5、,+oo)上为增函数，(由基本不等式可得)；函数在(-2』®,0),(0,2』V)上位减函数;Vava②当同为负时，单调性与同正时相反；③当a>^b<0时，函数在(-oo,0)J0,+oo)上为增函数;④当a0时，函数在(-oo,0),(0,+oo)上为减函数；(5)最值：①当a>0,b>0时，函数在(-oo,0)上有最大值

6、一2妬，在(0,+oo)上有最小值2[ab；②当a<0,b<0时，函数在(-oo,0)±有最小值2/^,在(0,*)上有最大值-2/ab；③当异号时无最大、最小值；(6)零点：①当a,b同号时，函数无零点；②当异号时为(一彳?°)，(JpO)；(7)渐近线：y轴(即x=0)；(8)随着农的增大，曲线变化幅度变小，越陡，越接近于直线；(9)还可以得到即使仏加都为奇数但是不相等，图象与上述相似，只是极值点需要是具体问题用基本不等式及其推论求解.2.当n=m都为偶数时,J同时改变a,b的符号，同样选择几个特例进行观察研究，如.1jr111八八VV1Ay=-x234--^JC11X

7、1尸兀JOO•X✓V得到如下共同性质：(1)定义域:xe(-oo?0)u(0,+)11KM)（5）最值：①当a>Q,b>0时，函数有最小值2y[ab；②当a

8、丿1/17\1尸一兀一-rXT.1V11A1y-xV\AX4111尸兀+何•/V15511严v_丫551一"7得到如下共同性质：(1)定义域：XG(-oo,0)U(0,+-)(2)值域：R(3)奇偶性：非奇非偶函数；(4)单调性：①当a=b=1时，函数在(-oo,0),(1,-K>o)上为增函数；函数在(0,1)上为减函数；②当a-,b--时，函数在(一g,-l),(0,+oo)上为增函数；函数在(-1,0)上为减函数；②当a=-i,b=1时，同②当a=l,b=-l时相反;③当a--l,b=-1时,同①当a=b=l时相反;(5)最值：没有最大、最小值，但是①当a>0,b>0

9、时，函数在(0,+oo)有极小值;②当a>Q,b<0时，函数在(—,0)有极大值；③当a<0,b>0时，函数在(-oo,0)有极小值；(同②相反)④当a<^b<0时，函数在(0,+oo)有极大值；(同①相反)(6)零点：①当同号时为(-1,0)；②当a上异号时为(1,0):(7)渐近线：y轴(即x=0)(8)随着斤的增大，曲线变化幅度变小，越陡，越接近于直线.4.当〃为偶数，加为奇数时，同3研究如下VV//\y=x2+-(“牛顿三叉”函数)1