2-2-3不定方程与不定方程组教师版

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1、不定方程与不定方程组1.利用整除及奇偶性解不定方程2.不定方程的试值技巧3.学会解不定方程的经典例题一、知识点说明历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一.古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程,因此常称不定方程为丢番图方程.中国是研究不定方程最早的国家,公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题,公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究.宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来.考点说明在各类竞赛考试中,不定方程经常以应用题的形式出现,除此以外,不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴

2、大题之中.在以后初高中数学的进一步学习中,不定方程也同样有着重要的地位,所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具,并能够在以后的学习中使用这个工具解题。二、不定方程基本定义1、定义:不定方程(组)是指未知数的个数多于方程个数的方程(组)。2、不定方程的解:使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解,不定方程的解不唯一。3、研究不定方程要解决三个问题:①判断何时有解;②有解时确定解的个数;③求出所有的解三、不定方程的试值技巧1、奇偶性2、整除的特点(能被2、3、5等数字整除的特性)3、余数性质的应用(和、差、积的性质及同余的性质)模块一、利用整除性质解

3、不定方程【例1】求方程2x—3y=8的整数解【考点】不定方程【难度】2星【题型】解答【解析】方法一:由原方程,易得2x=8+3y,x=4+-

4、y,因此,对y的任意一个值,都有一个x与之对应,并且,此时x与y的值必定满足原方程,故这样的x与y是原方程的一组解,即原方程的解可表为:其中k为任意数.说明由y取值的任意性,可知上述不定方程有无穷多组解.方法二:根据奇偶性知道2x是偶数,8为偶数,所以若想2x-3y=8成立,y必为偶数,当y=0,x=4;当y=2,x=7;当y=4,x=10,本题有无穷多个解。【答案】无穷多个解【巩固】求方程2x+6y=9的整数解【考点】不定方

5、程【难度】2星【题型】解答【解析】因为2x+6y=2(x+3y),所以,不论x和y取何整数,都有2

6、2x+6y,但2G9,因此,不论x和y取什么整数,2x+6y都不可能等于9,即原方程无整数解.说明:此题告诉我们并非所有的二元一次方程都有整数解。【答案】无整数解【例2】求方程4x+10y=34的正整数解【考点】不定方程【难度】2星【题型】解答【解析】因为4与10的最大公约数为2,而2

7、34,两边约去2后,得2x+5y=17,5y的个位是0或5两种情况,2x是偶数,要想和为17,5y的个位只能是5,y为奇数即可;2x的个位为2,所以x的取值为1、6、11、16x=l时

8、,17—2x=15,y=3,x=6时,17—2x=5,y=l,x=11时,17—2x=17—22,无解a*=]x=6所以方程有两组整数解为:-J-y=3[y=15【巩固】求方程3x+5y=12的整数解【考点】不定方程【难度】2星【题型】解答【解析】由3x+5y=12,3x是3的倍数,要想和为12(3的倍数),5y也为3的倍数,所以y为3的倍数即可,所以y的取值为0、3、6、9、12......y=0时,12—5y=12,x=4,x=3时,12-5y=I2-I5,无解x=4所以方程的解为:<y=0*Y—/I【答案】y=0【巩固】解不定方程:2兀+9》=40(其中x,y

9、均为正整数)【考点】不定方程【难度】2星【题型】解答【解析】方法一:2x是偶数,要想和为40(偶数),9y也为偶数,即y为偶数,也可以化简方程2x+9y=409_40-9x_ctyJx=11Jx=2兀=二-=2()_5y+㊁知道y为偶数,所以方程解为:b=2〔y=4【答案】y=2Iy=4模块二、利用余数性质解不定方程【例3】求不定方程7x+lly=1288的正整数解有多少组?【考点】不定方程【难度】3星【题型】解答【解析】本题无论兀或是y,情况都较多,故不可能逐一试验.检验可知1288是7的倍数,所以lly也是7的倍数,则y是7的倍数.设y=7z,原方程可变为x+l

10、lz=184,z可以为1,2,3,16.由于每一个z的值都确定了原方程的一组正整数解,所以原方程共有16组正整数解.【答案】16组【例4】求方程3x+5y=31的整数解【考点】不定方程【难度】3星【题型】解答【解析】方法一:利用欧拉分离法,由原方程,得x=2!二即x=10—2y+4,要使方程有整数解334必须为整数.3取y=2,得x=10—2y+-!^-=10—4+1=7,故x=7,y=2当y=5,得x=10-2y+上〜=10—10+2=2,故x=2,y=5当y=&得x=10-2y+4=10-16+3无解兀=7x—2所以方程的解为:J丿=2卜=5方法二:利用余数

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