2-2-3不定方程与不定方程组教师版

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1、不定方程与不定方程组1.利用整除及奇偶性解不定方程2.不定方程的试值技巧3.学会解不定方程的经典例题一、知识点说明历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一.古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程.中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题,公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究.宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来.考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴

2、大题之中.在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。二、不定方程基本定义1、定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。2、不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。3、研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解三、不定方程的试值技巧1、奇偶性2、整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性）3、余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）模块一、利用整除性质解

3、不定方程【例1】求方程2x—3y=8的整数解【考点】不定方程【难度】2星【题型】解答【解析】方法一：由原方程，易得2x=8+3y,x=4+-

4、y,因此，对y的任意一个值，都有一个x与之对应,并且，此时x与y的值必定满足原方程，故这样的x与y是原方程的一组解，即原方程的解可表为:其中k为任意数.说明由y取值的任意性，可知上述不定方程有无穷多组解.方法二：根据奇偶性知道2x是偶数，8为偶数，所以若想2x-3y=8成立，y必为偶数,当y=0,x=4;当y=2,x=7;当y=4,x=10,本题有无穷多个解。【答案】无穷多个解【巩固】求方程2x+6y=9的整数解【考点】不定方

5、程【难度】2星【题型】解答【解析】因为2x+6y=2（x+3y）,所以，不论x和y取何整数，都有2

6、2x+6y,但2G9,因此，不论x和y取什么整数，2x+6y都不可能等于9,即原方程无整数解.说明：此题告诉我们并非所有的二元一次方程都有整数解。【答案】无整数解【例2】求方程4x+10y=34的正整数解【考点】不定方程【难度】2星【题型】解答【解析】因为4与10的最大公约数为2,而2

7、34,两边约去2后，得2x+5y=17,5y的个位是0或5两种情况，2x是偶数，要想和为17,5y的个位只能是5,y为奇数即可；2x的个位为2,所以x的取值为1、6、11、16x=l时

8、，17—2x=15,y=3,x=6时，17—2x=5,y=l,x=11时，17—2x=17—22,无解a*=]x=6所以方程有两组整数解为：-J-y=3[y=15【巩固】求方程3x+5y=12的整数解【考点】不定方程【难度】2星【题型】解答【解析】由3x+5y=12,3x是3的倍数，要想和为12（3的倍数），5y也为3的倍数，所以y为3的倍数即可，所以y的取值为0、3、6、9、12......y=0时，12—5y=12,x=4,x=3时，12-5y=I2-I5,无解x=4所以方程的解为：＜y=0*Y—/I【答案】y=0【巩固】解不定方程：2兀+9》=40（其中x,y

9、均为正整数）【考点】不定方程【难度】2星【题型】解答【解析】方法一：2x是偶数，要想和为40（偶数），9y也为偶数，即y为偶数，也可以化简方程2x+9y=409_40-9x_ctyJx=11Jx=2兀=二-=2（）_5y+㊁知道y为偶数，所以方程解为：b=2〔y=4【答案】y=2Iy=4模块二、利用余数性质解不定方程【例3】求不定方程7x+lly=1288的正整数解有多少组？【考点】不定方程【难度】3星【题型】解答【解析】本题无论兀或是y,情况都较多，故不可能逐一试验.检验可知1288是7的倍数，所以lly也是7的倍数，则y是7的倍数.设y=7z,原方程可变为x+l

10、lz=184,z可以为1,2,3,16.由于每一个z的值都确定了原方程的一组正整数解，所以原方程共有16组正整数解.【答案】16组【例4】求方程3x+5y=31的整数解【考点】不定方程【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：利用欧拉分离法，由原方程，得x=2!二即x=10—2y+4,要使方程有整数解334必须为整数.3取y=2,得x=10—2y+-!^-=10—4+1=7,故x=7,y=2当y=5,得x=10-2y+上〜=10—10+2=2,故x=2,y=5当y=&得x=10-2y+4=10-16+3无解兀=7x—2所以方程的解为：J丿=2卜=5方法二：利用余数