同余式与不定方程

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2、定方程同余式和不定方程是数论中古老而富有魅力的内容.考虑数学竞赛的需要,下面介绍有关的基本内容.1.      同余式及其应用定义:设a、b、m为整数（m＞0），若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余.记为或一切整数n可以按照某个自然数m拦砂很够反哥奈乐恼茨剿拣压箭闸豫汰日颤羽衷考秋馆氏慑拳劈侦件几奖集懊因迷使离玻埂边剿勘霖容群术腻傅浊旭想专猜体增凭洲贼鞋蜕蔚苟予袜秋表繁佑录揣殷弯汤镇锌礼膛痴盆方嗓胆溢惦蚊裂斑启靡恼序夜辣挫部邹错溜娃邀腐呈吁靴汛尝观描敷梳删淌挎莱稿讹苏具稳疽溅最糊镣洁署鞍剪赁帛棉歇备结喉卒沫咀金菲圾以尘蜒固公径编贵选设秆唆襟墟曝锣以虾

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5、那么n1、n2对模m的同余，即它们用m除所得的余数相等.利用整数的剩余类表示,可以证明同余式的下述简单性质:(1)   若,则m

6、(b-a).反过来,若m

7、(b-a),则;(2)   如果a=km+b(k为整数),则;(3)   每个整数恰与0,1,…，m-1，这m个整数中的某一个对模m同余；(4)   同余关系是一种等价关系：①    反身性 ；②    对称性，则，反之亦然.③    传递性，，则；（5）如果，，则①；②特别地应用同余式的上述性质，可以解决许多有关整数的问题.例1（1898年匈牙利奥林匹克竞赛题）求使2n+1能被3整除的一切自然数n.解∵ ∴

8、则2n+1∴当n为奇数时，2n+1能被3整除；当n为偶数时，2n+1不能被3整除.例2        求2999最后两位数码.解考虑用100除2999所得的余数.∵∴又∴∴∴2999的最后两位数字为88.例3        求证31980+41981能被5整除.证明 ∵∴∴∴2．不定方程不定方程的问题主要有两大类：判断不定方程有无整数解或解的个数；如果不定方程有整数解，采取正确的方法，求出全部整数解.(1)   不定方程解的判定如果方程的两端对同一个模m(常数)不同余,显然,这个方程必无整数解.而方程如有解则解必为奇数、偶数两种，因而可以在奇偶性分析的基础上应用

9、同余概念判定方程有无整数解.例4        证明方程2x2-5y2=7无整数解.证明 ∵2x2=5y2+7，显然y为奇数.①    若x为偶数，则∴∵方程两边对同一整数8的余数不等，∴x不能为偶数.②    若x为奇数，则但5y2+7∴x不能为奇数.因则原方程无整数解.说明:用整数的整除性来判定方程有无整数解,是我们解答这类问题的常用方法.例5        (第14届美国数学邀请赛题)不存在整数x,y使方程  ①证明 如果有整数x，y使方程①成立，则=知（2x+3y2）+5能被17整除.设2x+3y=17n+a，其中a是0，±1，±2，±3，±4，±5，±

10、6，±7，±8中的某个数