27.不定方程、方程组(含答案)-

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1、www.czsx.com.cn27.不定方程、方程组知识纵横不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组),其特点是解往往有无穷多个,不能惟一确定.对于不定方程(组),我们往往限定只求整数解,甚至只求正整数解,加上条件限制后,解就可确定.二元一次不定方程是最简单的不定方程,一些复杂的不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程问题加以解决,与之相关的性质有:设a、b、c、d为整数,则不定方程ax+by=c有如下两个重要命题:(1)若(a,b)=d,且dc,则不定方程ax+by=c没有整数解;(2)若x0,y0是方程ax+by=c且(a,b)=1的一组

2、整数解(称特解),则(t为整数)是方程的全部整数解(称通解).解不定方程(组),没有现成的模式、固定的方法可循，需要依据方程（组）的特点进行恰当的变形，并灵活运用以下知识与方法：奇数偶数、整数的整除性、分离整系数、因数分解、配方利用非负数性质、穷举、乘法公式、不等式分析等。例题求解【例１】正整数m、n满足8m+9n=mn+6,则m的最大值为________.(2000年新加坡数学竞赛题)思路点拨把m用含n的代数式表示,并分离其整数部分(简称分离整系数法),再结合整除知识,求出m的最大值.解:75提示:m==9+,n=9时,m最大值为75.【例2】如图,在高

3、速公路上从3千米处开始,每隔4千米设一个速度限制标志,而且从千米处开始,每隔9千米设一个测速照相机标志,则刚好在19千米处同时设置这两种标志.问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是().A.32千米B.37千米C.55千米D.90千米(2003年河南省竞赛题)思路点拨-10-www.czsx.com.cn设置限速标志、照相机标志千米数分别表示为3+4x、10+9y(x,y为自然数),问题转化为求不定方程3+4x=10+9y的正整数解.解:选C提示:x==2y+1+,4│y+3,为所求的解.【例3】(1)求方程15x+52y=6的所有整数解.(2)求方程

4、x+y=x2-xy+y2的整数解.(莫斯科数学奥林匹克试题)(3)求方程正整数解.(“希望杯”邀请赛试题)思路点拨对于(1)通过观察或辗转相除法,先求出特解.对于(2)易想到完全平方公式,从配方入手;对于(2)易知x,y,z都大于1,不妨设1

5、(x-1)2+(y-1)2=2,由此得方程的解为(0,0),(2,2),(1,0),(0,1),(2,1),(1,2)(3)提示:<++≤,即<≤,由此得x=2或3,当x=2时,<+=-=≤+=，即<≤,由此得y=4或5或6,同理当x=3时,y=3或4,由此可得当1≤x≤y≤z时,(x,y,z)共有(2,4),(4,2,12),(4,12,2),(12,2,4),(12,4,2),(2,6,6),(6,2,6),(6,6,2),(3,3,6),(3,6,3),(6,3,3),(3,4,4),(4,4,3),(4,3,4)【例4】一个盒子里装有不多于200粒

6、棋子,如果每次2粒,3粒,4粒或6粒地取出,最终盒内都剩一粒棋子;如果每次11粒地取出,那么正好取完,求盒子里共有多少粒棋子?(2002年重庆市竞赛题)-10-www.czsx.com.cn思路点拨无论怎样取,盒子里的棋子数不变,恰当设未知数,把问题转化为求不定方程的正整数解.解:提示:设盒子里共有x粒棋子,则x被2、3、4、6的最小公倍数12除时,余数为1,即x=12a+1(a为自然数),又x=11b(b为自然数),得12a+1=11b,b==a+,11│a+1因0

7、121,即盒子里共有121粒棋子.【例5】中国百鸡问题:鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一.百钱买百鸡,问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何?(出自中国数学家张丘建的著作《算经》)思路点拨设鸡翁、鸡母、鸡雏分别为x,y,z,则有通过消元,将问题转化为求二元一次不定方程的非负整数解.解:消去方程组中的z,得7x+4y=100,显然,(0,25)是方程的一个特解,所以方程的通解为(t为整数),于是有t=100-x-y=100+4t-(25+7t)=75-3t,由x,y,z≥0且t为整数得,t=0,-1,-2,-3,将t的值代入通解,得四组解(x,y,z)=(0

8、,25,75),(4,18,78)(8,11,81),(12,4,