§115函数展开成幂级数

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1、§11.5函数展开成幕级数一、泰勒级数nl如果/（%）在无=兀0处具有任意阶的导数，我们把级数fW+^^kx-xJ+^-^x-x^+■■■+Z^（x-x0）n+-（1）称Z为函数/（兀）在兀=处的泰勒级数。它的前H+1项部分和用为+1（兀）记Z,且几+1（劝=£/，勺）（兀_勺）"k=0炽这里：0!=1,/（°）（勺）=/（勺）由上册中介绍的泰勒中值定理，有.心）=»+1（兀）+心3当然，这里他（兀）是拉格朗日余项，且f（斤+1）（自心（灯=~~（兀—呵）""（§在兀与兀0之间）。（n+1）!由Rn（x）=/（劝一片+i（x

2、）有limRn（x）=0olim5n+1（%）=f（x）。因此，当limRn（x）=0时，函数/（天）的泰勒级数n—f（兀（））+f严）（兀-兀（））+了护）（兀-兀0）2+…+'¥"（X-兀0）"+…1!2!n就是它的另一种精确的表达式。即心*（夠）+咿（—。）+警（_。）2+...+牛（“就+…1!2!n这时，我们称函数/（X）在兀=兀0处可展开成泰勒级数。特别地，当Xo=O时，这时，我们称函数/（兀）可展开成麦克劳林级数。将函数/（X）在兀=无0处展开成泰勒级数，可通过变量替换/=兀-％,化归为函数/(x)=/(Z

3、+x0)AF(Z)在t=0处的麦克劳林展开。因此，我们着重讨论函数的麦克劳林展开。【命题】函数的麦克劳林展开式是唯一的。证明：设/(Q在无=0的某邻域(—R，R)内可展开兀成的幕级数f(x)=如+%无+a2^HFanxnH—据幕级数在收敛区间内可逐项求导，有/z(x)=1・％+2-a2xHn-anxn~X+•••f"(X)=2•1•a?+・••+〃•(〃_])ClnXn2+…（X）=M…1CLn+（M+1）•M…2Q比+］兀+…把兀=0代入上式，有/(0)=aQ厂(0)=1・如厂(0)=2・1・血严）（0）»・（〃-1）…从

4、而6Z

5、—厂(0)1!6Z2=/〃（0）2!n于是，函数/(兀)在兀=0处的幕级数展开式其形式为心*(0)+型卄型宀…+皿"+…1!2!yi这就是函数的麦克劳林展开式。这表明，函数在天=0处的幕级数展开形式只有麦克劳林展开式这一种形式。二、函数展开成幕级数1、直接展开法将函数展开成麦克劳林级数可按如下儿步进行❶求出函数的各阶导数及函数值/（0）,广（0）/（0），…肿）（0）,…若函数的某阶导数不存在，则函数不能展开;❷写出麦克劳林级数皿譽+哪*..+營".并求其收敛半径R。❸考察当xe（-R.R）时，拉格朗H余项Rn(

6、Q—严）（小）严1（〃+1）!(Ov0vl)当川Too时，是否趋向于零。若lim&2（兀）=0,则第二步写出的级数就是函数的麦克劳林展开式;"Too若lim尺2（兀）工°‘则函数无法展开成麦克劳林级数。"Too【例1］将函数/（无）=0丫展开成麦克劳林级数。解：/（%）",/（"）（0）=1（77=0,1,2,---）x无2J于是得麦克劳林级数111!2!n而p-lim%!-lim1/I/iTooan/2T8(zz+1)!/n故R=+x对于任意XE(一00,+8),有=lim—!—=0刃Too72+1H+1—右!(72+

7、1)!(n+1)!这里幺刀是与比无关的有限数，考虑辅助幕级数OOyE+l）!的敛散性。由比值法有/?+1X(〃+2)!)!xlim/?—>OO71+2h+1lim%心)=limn—Un{x)〃T8故辅助级数收敛，从而一般项趋向于零，即=0(n+1)!因此limRn(x)=0,故/?—>ooeJl+兰+匚.・.+兰+…1!2!n(―g

8、(-1)亍于是得幕级数A字卜…+㈠严(2n-l)!容易求出，它的收敛半径为R=+°°对任意的Xe(-oo^+oo),有尺2（兀）—71sin(0.兀+〃・_)-X刃+!/?+l(耐(°8时IMF)直接展开法的缺陷忽F易求函数的高阶导数r=;i^i严）（0）讨论当巾TX时，余项/("+】)(&・乂)+1(n+1)!是否趋向于零十分地困难.(0v&v1)2、间接展开法利用一些已知的函数

9、展开式以及幕级数的运算性质（如：加减，逐项求导,逐项求积）将所给函数展开。【例3］将函数f（X）=C0SX展开成X的幕级数。解：对展开式兀"F/(、―1无加一1SinX=H+(_1)+・••xw(-OO4-00)1!3!5!(2n-l)!两边关于兀逐项求导，得X2/cos无=1——++(-