§7.5函数展开成幂级数

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1、两类问题:在收敛域内和函数求和展开本节内容:一、泰勒(Taylor)级数二、函数展开成幂级数§7.5函数展开成幂级数机动目录上页下页返回结束第七章一、泰勒(Taylor)级数其中(在x与x0之间)称为拉格朗日余项.则在若函数的某邻域内具有n+1阶导数,此式称为f(x)的n阶泰勒公式,该邻域内有:机动目录上页下页返回结束为f(x)的泰勒级数.则称当x0=0时,泰勒级数又称为马克劳林级数.1)对此级数,它的收敛域是什么？2)在收敛域上,和函数是否为f(x)?待解决的问题:定义若函数的某邻域内具有任意阶导数,机动目录上页下页返回结束定理则f(x)在I内能展

2、开成泰勒级数充要条件是f(x)的泰勒公式中的余项满足:证明:令设函数f(x)在区间I内具有任意阶导数,机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束当x0=0时,即得到f(x)的马克劳林展开式.二、函数展开成幂级数1.直接展开法由泰勒级数理论可知,第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值;第二步写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径R;第三步判别在收敛区间(－R,R)内是否为骤如下（关于x的幂级数）:展开方法直接展开法—利用泰勒公式间接展开法—利用已知其级数展开式0.的函数展开机动目录上页下页返回结束例1.将函数展开成x的幂级数.解:其收敛半径为对任何有限

3、数x,其余项满足故(在0与x之间)故得级数机动目录上页下页返回结束例2.将展开成x的幂级数.解:得级数:其收敛半径为对任何有限数x,其余项满足机动目录上页下页返回结束类似可推出:机动目录上页下页返回结束例3.将函数展开成x的幂级数,其中m为任意常数.解:易求出于是得级数机动目录上页下页返回结束对应的二项展开式分别为机动目录上页下页返回结束2.间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例4.将函数展开成x的幂级数.解:因为把x换成,得将所给函数展开成幂级数.机动目录上页下页返回结束例5.将函数展开成x的幂级数.解:从0到x积分,得定义且连续

4、,区间为利用此题可得上式右端的幂级数在x＝1收敛,所以展开式对x＝1也是成立的,于是收敛机动目录上页下页返回结束例6.将展成解:的幂级数.机动目录上页下页返回结束例7.将展成x－1的幂级数.解:机动目录上页下页返回结束内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法—利用泰勒公式;(2)间接展开法—利用幂级数的性质及已知展开2.常用函数的幂级数展开式式的函数.机动目录上页下页返回结束当m=–1时机动目录上页下页返回结束