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《用含时微扰方法求解态函数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、微扰法求解态函数，时间演化算符及费曼图2.2.1时间演化算符时间演化算符是微扰理论中处理问题的一个重要手段，费曼图是这一方法的较为直观的表达方式,在处理多光子过程中非常简捷且行之有效。本小节将详细讨论这一方法，并利用它得到双光子吸收系数。处在电场中的原子其本征函数可由求解薛定谱方程砂=済也(2.2-1)dt或tb时刻的本征函数0(。)由时间演化算符U(E作用到败)上得到(2.2-2)这里伉(切乙)满足谄警血=(2.2-3)如果H与时间无关，那么由(2.2-3)可得"(S，r“)=exp［-「¥匕-刀］=工
2、耐〈加
3、exp
4、—心口-切］(2.2-4)几m此处©=Em/h,
5、加)是
6、H的本征函数,其本征能量为Em,在(2.2-4)中,我们应用了归一化条件耐仙
7、=1。在微扰理论中，我们令哈密顿为H=//()+%)(2.2-5)Ho与时间无关,V⑴代表原子与场相互作用的含时微扰。由公式(2.2-2)可得u是单位算符，满足u+u-1(2.2-6)u的另一个特性为呛屛“)况匕儿)="de)(2.2-7)当H⑴由(2.2-5)给出时,其中:LJu°(tb,ta)=exp[(tb-ta)](2.2-9)n是无微扰时的算符。由公式(2.2-8)做递推展开■=(th儿)一扌(5,/])V(/
8、)U®(/],ta)dt}■+(_f)2fT如亿“。)仇山W(G“O)(OU©)
9、心乙)n%心(2.2-10)hm注意到u出现在(2.2-10)式的末尾,所以我们可以应用同样的程序得到:■W儿)="⑴(0，匚)一7『"⑹厶)V(ri)w(())4，5)dt%+(-dt}dt2u^(tb,t.)V(r1)W(O)(r.,r2)V(r2)w(0)(r2,ta)门211)+(-孑rfl2dt{dt2dt.u(0)(th,/JWW⑹4,r.)V(r2)x7?JfaJfaw(0)(z2,r3)V(r3>(0)a3,rJ将上式写成(2.2-12)八匕儿）二“⑴（0，G+/）（U+八（S“）…+""）（―儿）+•••其中"⑴（—，/“）=exp—孕（。一匚）nV方丿
10、儿九艸(fWO®©厶)k>ChC{1•、3//F-7ff[t2dt{dtxdt3u(Q)(tb,tx)V(tx)m(0)(r,,t2)xTl丿JtaJtaJtaV(G)W(0)((2，》3)V(『3)也,ta)(2.2-13)红b>5>t2>t3•->tn)o例如,要得到妙⑴含微扰*0三阶近似解，令—,肖⑴二b⑼(/儿)+/)(仏)+加2)(仏)+八(/,%匕)(22-14)二妙°⑴+0(f)+妙2⑴+屮'(f)^仔细检查一下(2.2-13)式中的各个严(仏厂我们不难发现，汕)(5)可以写成如下形式的通式：W(O)a,『])・・/)(/“_],tn)W(O)(tn,)中间插入微
11、扰V(t)在人……匚时刻的值，时间参量是由右向左递增的。下面以三能级原子与两个光场相互作用为例，讨论微扰方法的应用。我们设光场为E(r)冷即如+*牡叫+c.c.(2.2-15)相互作用哈密顿为+C.C.)(2.2-16)这里，“是偶极动量算符的负值。假设微扰在%—时作用于基态间上的原子，那么在t时刻原子的本征函数为肖⑴=0°)a)+0"(/)+…0""(/)+•••(2.2-17)其中0WSJ间用(2.2-13)我们可以写出H(/一人)VCrJexp-r0)dtnexp一吐h肖⑴⑴=-討n%
12、^Xmlexp[-io)m(/一/J”aJXexp[-icon(/.-r0)血同刃
13、m，0(2.2-18)一側)丿;exp他厂®比x(2.2-19)由(2.2-16)式,V(G是四项之和，被积函数包括四项，我们以其中的一项,E；exp(—如)为例exp(-z7yzj)exp(®/。)力】
14、耐“I是“沿E的投影,C0mn=(£w-En)/1i,完成上述积分可得吧(0=—S("几E：exp(-%/)31m其中的exp©©/。)被忽略了，因为在计算可观测量的物理量时，它都将与自己的复共扼相乘。在『oT-oo时,expi(%-①九为零。考虑到自然线宽7,将分母中的％以%—iy代替，有应用同样的方法，我们可以计算出E]exp(z如)，E；exp(-血2冇及E2exp(z
15、^2r)等项对鸭⑴(r)的贡献，最后可得：八(D二0以("+MJ⑴+心2⑴+以⑴/vf,、E：exp[i(_®-©)打耐，/dexp[Xe-©)“耐2X+)mn'；%+山_疗£2exp[z(-^y2-cojt}m)+(“2丿"皿(2.2-20)%-少2-评—E2exp[z(692_©)/.+(“2)mn~~~~~ry%+o)2-iy用(2.2-13)我们写出波函数的二阶项肖⑵⑴:02)a)=u(2)a』0)M(•、2H()(八-》2)hexp-iVC/JxhV(t2)exp_严0°2*))t
