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《圆锥曲线第二天动弦过定点的问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、动弦过定点的问题若直线过的定点在已知曲线上,则过定点的直线的方程和曲线联立,转化为一元二次方程(或类一元二次方程)，考察判断式后,韦达定理结合定点的坐标就可以求出另一端点的坐标,进而解决问题。下面我们就通过例题领略一下思维过程。例题1、已知点A、B、C是椭圆E:(°>b>0)上的三点，其中点A(2x/3,0)是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心0,且ACBC=O,BC=2AC如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；(II)若椭圆E上存在两点P、Q,使得直线PC与直线QC关于直线兀=巧对称，求直线解：(I)BC=2AC.HBC过椭圆的中心0.•・oc=acACBC=O71:.Z
2、ACO=-又A(2^,0)・••点C的坐标为(>/3,V3)oA（2石,0）是椭圆的右顶点,a=2/3,则椭圆方程为：将点C（^,巧）代入方程，得戻=4,22.••椭圆E的方程为二+斗=1124（II）直线PC与直线QC关于直线兀=石对称，/.设直线PC的斜率为k,则直线QC的斜率为-k.从而直线PC的方程为：y-羽=k（x-羽）,即顶F消y,整理得:y=Ax+/3（l-Z:）;[x2+3/-12=0(1+3疋)x2+6—幻兀+9/—18E—3=0x=d是方程的一个根z同理可得:9/+18E-3仮1+3疋)-2k~巧(1+3/)__9/一1弘一39疋+1弘一3"%一內(1
3、+3疋)a/3(1+3V)-36k~73(1+3Z:2)_9/—18—3XP=巧（1+3Q_9疋+1弘一3~舲（1+3疋）,这样计算量就减少了许多，在考场上就节省了大量的时间。则直线PQ的斜率为定值方法总结：本题第二问中，由"直线PC与直线QC关于直线兀=內对称"得两直线的斜率互为相反数，设直线PC的斜率为k,就得直线QC的斜率为7。利用V3是方程(l+3/)x2+67^(i_k)x+%2_18—3=0的根,易得点P的横坐标：,再将其中的k用-k换下来，就得到了点Q的横坐标:接下来，如果分别利用直线PC、QC的方程通过坐标变换法将点P、Q的纵坐标也求出来，计算量会增加许多。直接
4、计算”-人、%,就降低了计算量。总之，本题有两处是需要同学们好好想一想，如何解决此类问题，一是过曲线上的点的直线和曲线相交，点的坐标是方程组消元后得到的方程的根；二是利用直线的斜率互为相反数，减少计算量，达到节省时间的目的。练习1、已知椭圆c:二+養=l(d>b>o)的离心率为晅，且在x轴上的顶点分别crb~2为A](・2,0),A2(2,0)。(I)求椭圆的方程；(II)若直线/:x=/(/>2)与x轴交于点「点P为直线I上异于点T的任一点，直线PAi,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。解：(I)由已知椭圆C的离心率£=£=<1,0
5、=2,则得。=巧上=1。a2r2从而椭圆的方程为4(II)设Mg),叫,力)，直线側的斜率为殆则直线AM的方程为y=«(兀+2)y=々(x+2)，由［兀2?消y整理得(1+4好)无2+16总兀+16斥一4=0—+y2=1〔4-2和州是方程的两个根即点M的坐标为需缶同理，设直线A2N的斜率为k2,则得点N的坐标为2儿#(r+2),儿乂(/-2).k、_k->2&+&t直线MN的方程为：丄二A=二A,X~XyX^y—Xj.•.令y=0,得兀=沁也1，将点M、N的坐标代入，化简后得：x=-X-%14又/>2z/.0<—<2椭圆的焦点为（巧,0）/.-=V3,即心婕t3故当2芈时，MN
6、过椭圆的焦点。方法总结：本题由点A.（-2,0）的横坐标・2是方程（1+4好庆+163；+16好-4=0的一个根，结合韦达定理得到点M的横坐标:'利用直线A4I的方程通过坐标变换，得点M的纵坐标:X=占賁；16,_4再将-2兀严'中的広用怠换下来,前的系数2用・2换下来，就得点N的坐1十^r/Cj肿_2-4k标（竺一，丄工），如果在解题时，能看到这一点，计算量将减少许多，并且也不1+4£；1+4心易出错，在这里减少计算量是本题的重点。否则,大家很容易陷入繁杂的运算中,并且算错，费时耗精力,希望同学们认真体会其中的精髓。本题的关键是看到点P的双重身份：点P即在直线M上也在直线A
7、.N上,进而得到匚*=2,由直线MN的方程上二2l=21二2l得直线与X轴的交点，即横截距何+爲tx-x}x2-x}兀=空匚竺，将点M、N的坐标代入，化简易得x=-，由-=^3解出心迹）［一力『t3到此不要忘了考察占是否满足,〉2。练习2、:已知，椭圆C以过点力（1，
8、），两个焦点为（-HO）（1,0）。（1）求椭圆C的方程；（2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线M的斜率为定值，并求出这个定值。.分析:第一问中，知道焦点，则/=/+i组，就可以求
