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1、第四章与方程4.1的方程4.1.1的标准方程一.知识要点1.圆的标准方程：以点(日，方)为圆心，厂为半径的圆的标准方程：(旷2尸+(厂方)2二乂特别地，当圆心在原点即C(0,0)时，圆方程为：・注：①圆的标准方程a—Q2+(y—方)2二斥中，有三个参数a、方、厂，只要求出白、b、r且r>0,这吋圆的方程就被确定，因此确定圆的标准方程，需三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件.②确定圆的方程主耍方法是待定系数法，即列出关于日、b、厂的方程组,求日、b、厂或直接求岀圆心力)和半径2；一般步骤为：1°根据题意，设所求
2、的圆的标准方程匕一自严+(y-^)2=?；2。根据已知条件，建立关于込b、厂的方程组；3°解方程组，求出&、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.2.点M(%0,.Fo)与圆匕-»+(广方)'二Z?的关系的判断方法：当点M(Ao,y。)在圆(*-»+(广方尸"上时，点M的坐标满足方程｛x-a)2+(2=r.当点M(xo,必)不在圆(尸自)'+(厂方)上时，点M的坐标不满足方程(k$)'+(广〃)J/?.用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为：1°点到圆心的距离大于半径，点在圆外U>(%0-a)2+(ji)-
3、/?)2>r,点在圆外；2°点到圆心的距离等于半径，点在圆上Q("日)2+(坷力2“,点在圆上；3°点到圆心的距离小于半径，点在圆内O(”日)2+(必“)2<只点在圆内.二、典型例题例1写出下列各圆的标准方程：(1)圆心在原点,半径是3；⑵圆心在点C(3,4),半径是厉；(3)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)；(4)圆心在点C(l,3),并且和直线3尸4.厂7二0相切.解：⑴由于圆心在原点，半径是3,所以圆的标准方程为(T)'+(厂0尸二3；即#+斤9.⑵由于圆心在点C(3,4),半径是5,所以圆的标准方程是(尸3)2
4、+34)2二⑸；即(尸3)'+(广4)2=5.(3)方法一：圆的半径r=
5、CP
6、=7(5-8)2+(l+3)2=V25=5,因此所求圆的标准方程为(t-8)2+(,f+3)2=25.方法二：设圆的标准方程为(尸8)2+(严3)2二尤因为圆经过点P(5,1),所以(5-8)却(1+3)2",色25,因此所求圆的标准方程为匕-8)却(y+3)J25.这里方法一是直接法，方法二是间接法,它需要确定有关参数来确定圆的标准方程，两种方法都可，要视问题的方便而定.⑷设圆的标准方程为(r-l)2+(.^3)2=r2,由圆心到直线的距离等于圆的
7、半径，所以尸"一匕7
8、=典.因此所求圆的标准方程为(尸1)知(广3)2二—•725V2525点评：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程.例2(教材例2)AABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.AABC的外接圆的方程为(犷2)?+(严3)$二25.例3.一圆过原点0和点P(l,3),圆心在直线尸卅2上，求此圆的方程.解法一：因为圆心在直线尸对2上,所以设圆心坐标为(臼,計2).则圆的方程为(犷日)2+(广旷2)2=/.因为点0(0,0)和P(l,3)在圆上，所以(0-
9、0)2+(0-0-2)2(l-6z)2+(3-a-2)21(1—4'r225]725所以所求的圆的方程为(^-)2+(j--)2=—.44813解法二：由题意：圆的弦0P的斜率为3,中点坐标为(-,-),22311所以弦0P的垂直平分线方程为广才二―§(^-),即屮3广5二0.因为圆心在直线尸丹2上，且圆心在弦0P的垂直平分线上，所以由y=兀+2,兀+3y-5=0,即圆心坐标为c(-l,-).44又因为圆的半径Q0C匕(-丄)2+(?)2V441725所以所求的圆的方程为(^-)2+(j--)2=—.148例3求下列圆的方程：(
10、1)圆心在直线y=-2x_E且与直线y=l-x相切于点(2,-1).(2)圆心在点(2,-1),且截直线y=x~l所得弦长为22.解：(1)设圆心坐标为(曰,-2曰)，由题意知圆与直线y=l~A相切于点(2,-1),所以當汁EEF,解得知•所以所求圆心坐标为z,半径"7(1-2)2+(-2+1)2=血.所以所求圆的标准方程为(尸1)铅(严2)彳二2.⑵设圆的方程为(^2)2+(.^l)W(r>0)，由题意知圆心到直线尸丁1的距离为店寺又直线R被圆截得弦长为2妊所以由弦长公式得"2,g.所以所求圆的标准方程为（尸2）2+（严1）*
11、4.三、练习1.圆（尸2尸+（严3严二9的圆心坐标和半径分别是（A）C.(-2,3)、3D.（-2,3）、V3D・在圆上或圆外A.(2,-3)、3B.(2,-3)、^32.点P（z.,5）与圆/+/=25的位置关系是（D）A.在圆外B.在圆上C・在圆内3.已知圆
