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1、求二次函数解析式的若干类型题一.i般式(基木式)法或顶点式法确定二次函数解析式例1：己知一个二次函数的图彖过点(1厂1)、(2,0)、(3,7)三点，求这个函数的解析式d+Z?+c=—1解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c,由条件得：＜4g+2b+c=()，解方程得：a=3,b=-&c二4,因此所9a+3b+c=7求的二次函数为y=3x2-8x+4例2：已知抛物线的顶点为(1,4),与y轴交点为(2,-1),求抛物线的解析式解：设所求的二次函数为y=a(x-l)2+4,由条件知点(2,-1)在抛物线上,/.a(2-1)2+4=-1
2、，得a二-5,故所求的抛物线解析式为y=-5(x-l)2+4,BP：y=-5x2+10x-lc=-l同时代入4ac-b2=16a,4a-(-l)-(-2a)2=16a,解得a=-5(a=0舍去)，所以b=10,A所求的抛物线解析式为y=-5x2+10x-l另解:设所求的二次函数为y二ax'+bx+c,则二次函数的顶点坐标为(—丄2a4ac-b24a),由已知得2a4ac一b2=44aax22+bx2+c=-lb=-2av4ac—h2=16d4a+2b+c=-1把b=-2a代入4a+2b+c=T中得，4a-4a+c=T,解得c二-1,把b
3、二-2a和练一练：①已知一个二次函数的图象经过了点A(1,-5),B(-2,1),C(-3,5),求二次函数解析式②已知二次函数y=F+px+q的图彖的顶点坐标是(2,10),口与直线5y=3x-10的交点的横坐标为5,求二次函数关系式③已知二次函数y=ax'+bx+c的图象过仃，6),(2,8)两点，并且以x=l为对称轴，求这个函数的解析式④已知二次函数当x=l时，有最人值5,且当x=-l时，y=-3,求二次函数的关系式⑤设yi与y?都是x的二次函数，且yi+y2=-x2-8x+4,已知当x=m时,y】有最小值，同时yi=y2=-8；
4、当x=-m,yi=y2=8.(1)求m的值;(2)求这两个二次函数的解析式;(3)当x为何值时,yi=y2一.用二次函数求实际问题中的最大值或最小值,运用二次函数的知识解决实际问题例1：一-座抛物线形状的拱桥，当水位涨到AB吋，水面AB的宽度为14米，如果水位再上升4米，就到达警戒水位CD,这时水面的宽度是10米.(1)建立如图的直角坐标系，求抛物线的解析式；(2)某L1上午7时，洪水已涨至警戒水位，并继续以每小时0.5米的速度上升，有一•艘满载抗洪物资的轮船，轮船露岀水面的部分是矩形,且高为1.5米，宽为2米，则轮船必须在几点Z前才能
5、通过该拱桥？解：(1)如图所示：由题意可得出:抛物线对称轴为：直线x=7,设解析式为:y=a(x-7)2,A(0,y),B(14,y),C(2,v+4),D(12,y+4),则]尸％,解得：a=-1/6,抛物线的解析式为：v=-—(x-7)2；[y+4=25a6(1)・・•轮船露出水面的部分是矩形,且高为1.5米,宽为2米…••当QT二2,则T点坐标为:(8,y),.y=■丄(8-7)2=-丄,VD(12,y+4),Ay+4=--(12-7)2=-.・.CD到EF的距离为：—1.5=2.5,66'6666•・•水位以每小时0.5米的速
6、度上升，・・・2.5三0.5二5(小时)，・・・伦船必须在7+5=12点之前才能通过该拱桥例2：某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽AB二1.6米，涵洞顶点0到水面的距离为2.4米，建立如图所示的肓角坐标系.(1)试写出涵洞所在抛物线的解析式；(2)当水面上涨了1.4米时，求水面的宽解：(1)设此抛物线所对应的函数表达式是：尸/QH0),・・•水而宽AB为1.6米，涵洞顶点0到水面的距离为2.4米，.••点B的坐标为(0.8,・2.4),・・・■2.4=aX0.82••:设此抛物线所对应的函数表达式是:y=-—x2.(2)当
7、水而上涨了1.4米时，涵洞顶点0到水而的距离为1米，把尸・1代入函数表达式得：・1=・些xl解得：X二纠単，所以水而的宽为士倍米1515例3：某旅行社有客房120间，每间房的FI租金为50元，每犬都客满.旅行社装修后耍捉高租金，经市场调查,如果一间客房的日租金每增加5元，则客房每天出租后会减少6间，不考虑其他因素，旅社将侮间客房将H租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比装修前LI租金总收入增加多少元？解:设每间房的日租金提高x个5元,日租金总收入为y,则y二（50+5x）（120-6x）,即y=-30（x-5）2+6750,当x
8、=5时，y吹二6750,即旅社将每间客房将口租金提高到75元时，客房FI租金的总收入最高，二FI租金总收入多6750-120X50=750（元）例4：某商场将进价为2000元的冰箱以2400元伟出，平均每天
