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1、六、母函数及其应用6.1定义：称/(%)=«!+a2x+a3x2+•••+anxn~l+…为数列｛。“｝的形式壽级数,或生成函数，简称母函数。6.2儿个常用初等函数的形式幕级数展开式(1)宀=。"树<1)；1一兀n=0⑵(i+f+兀©
2、vi)；(3)(4)(5)ex=y—(xwR)；Zo刃+oo”2”工(T)"丽D：r2n+l“T~——(xeR)；(2n+l)!V7cos%=n=0sin兀二£(-1)w=0⑹ln(l+x)=V(-iy?_I—(ji<1)；”0n(7)arctanx=丫(一1)"n=02n+2n+lSivi)。求一个初
3、等函数的形式幕级数的根本方法是利用泰勒展开定理，或马克劳林定理。在定义域范围内，对上述形式幕级数再进行算术运算和解析运算，可以得到其它初等函数的形式幕级数。我们在下文的目的，就是利用这种运算方法來求数列的通项公式。6.3数列仏｝及其前n项和数列｛S〃｝的母函数关系定理1：记数列仏｝的母函数为A(x),则其比项和数列｛S讣的母函数B(0=呦。i-x证明：•・・B(兀)=同+》(St+讣"T/:=!n=2n=ln=2=CZ]+xB(x)+A(x)-a}=xB(兀)+A(x)・・・讣型—X定理2：血卫旗M)。A=12证明：记数列｛司的前〃项
4、和为S「则数列｛S”｝的母函数为B（沪工S,广n=ln=2=1+*工S/"1/
5、=1+£佔n=2=1+xB{x）・・・B（x）=—-—=丄<+oo、(1-032(Ji一兀)2〉式若处1+8二牙工曲2-1）兀"-彳Ln=2n-]+°°「工S+1加Z?：=1比较两边X”的系数,得,站S,严呼k=丄定理3：k=l]—^（neNj,其中？工0,1l—q证明：展开(1_小£严=1-『即得证。k=l6.4数列的通项公式与前比项和公式(1)等差数列｛色｝的首项为绚，公差为〃，求其通项公式和前九项和公式解：数列｛%｝的生成函数是+oo-fc®-fe
6、®A（x）二工=ax+工（a“_i+d）x"T=a}+x^anxn~}+d工无心/?=!n=2/i=ln=2=q+xA（x）+dX1-x+82d工兀"=工兀"-*•d
7、+ax+=7n=•too、H=1）比较两边的系数，得，an=a.+(n-l)Jo由定理1,数列｛%｝的前〃项和数列｛s〃｝的生成函数是1(E、、=T—=Ya+d^xn=工处心・e+d工兀"h=1i~X(1—X丿=丿z?=l=l丿比较两边対T的系数，得，S”二旳二旳+"("»)d。k=2(1)等比数列｛%｝的首项为公比为q,求其通项公式和前/?项和公
8、式解：数列｛%｝的生成函数为+oo+«04-00人⑴二工匕兀心=ax+工％_]炉心=4+gx工匕*一"=ax+qxA^x)n==2k=仏)1-qxn=l比较两边的系数，得，a”=%q「'°由定理1,数列仏｝的前〃项和数列｛S”｝的生成函数是”=11兀/:=1n=比较两边兀心的系数,得，S”=4龙qi=绚(1_?")。k=i_q(3)数列xn'[｝的前〃项和公式6.5生成函数的应用(1)求解递推数列的通项公式例1数列仏｝的递推公式6ZW+1=2an+3(庇N*),⑷=1。求％、S”。例2数列｛勺｝的递推公式％+]=2a”+血
9、圧NJ,4=1。求陽、Sno例3数列｛%｝的递推公式an+[=2atl+3n(neN*),卩=1。求色、S”。例4数列｛色｝的递推公式an+]=2atJ+h•3n(/?eTV'),aA=1o求a”、S“。例5数列｛q“｝的递推公式an+2-an+｛+an(ngNY),at=a2=l0求a”、S“。（2）求不定方程的解数定理：不定方程X]+x2+•••+xHI=n,其中加、nwN",则①非负整数解数是c;;*=c;;;；“②正整数解数是c；；：r=c；^1；③求适合某种条件的解数（譬如：限制变元的范围、变元的奇偶性、附加变元的系数，即变n
10、-m元的倍数问题）。当2-m时，所有正奇数解数是C£。12证明：①设方程的非负整数解数是色，则｛%｝的生成函数是-foo4-00ZyJ(1+X+宀=(1-汀JZC爲,/i=0/1=0②设方程的正整数解数是陽,则｛色｝的生成函数是Z號"=6+/+・・y=/(1-xr=疋zcjyn=0k=061,1=k=n-m=cn-mn-厂“7—1C/?-l③设正奇数解数是色，则｛%｝的生成函数是n=()k=()n-m・：an-Ch-k_n~m-C盒。2-才问题：把斤个完全一样的球放进加个有标志的盒子中，问共有多少种不同的方法？如果不允许有空盒，共
11、有多少种不同的方法？（3）允许重复的组合数定理：从n个元素｛。
12、,色，…，。“｝中允许重复地取r个元素的组合数为C：+t。证明：把组合数记着/（仏厂），则/（n,r）=l,约定f（n9O）=1o考虑组合中含
