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1、六、母函数及其应用6.1定义:称/(%)=«!+a2x+a3x2+•••+anxn~l+…为数列{。“}的形式壽级数,或生成函数,简称母函数。6.2儿个常用初等函数的形式幕级数展开式(1)宀=。"树<1);1一兀n=0⑵(i+f+兀©
2、vi);(3)(4)(5)ex=y—(xwR);Zo刃+oo”2”工(T)"丽D:r2n+l“T~——(xeR);(2n+l)!V7cos%=n=0sin兀二£(-1)w=0⑹ln(l+x)=V(-iy?_I—(ji<1);”0n(7)arctanx=丫(一1)"n=02n+2n+lSivi)。求一个初
3、等函数的形式幕级数的根本方法是利用泰勒展开定理,或马克劳林定理。在定义域范围内,对上述形式幕级数再进行算术运算和解析运算,可以得到其它初等函数的形式幕级数。我们在下文的目的,就是利用这种运算方法來求数列的通项公式。6.3数列仏}及其前n项和数列{S〃}的母函数关系定理1:记数列仏}的母函数为A(x),则其比项和数列{S讣的母函数B(0=呦。i-x证明:•・・B(兀)=同+》(St+讣"T/:=!n=2n=ln=2=CZ]+xB(x)+A(x)-a}=xB(兀)+A(x)・・・讣型—X定理2:血卫旗M)。A=12证明:记数列{司的前〃项
4、和为S「则数列{S”}的母函数为B(沪工S,广n=ln=2=1+*工S/"1/
5、=1+£佔n=2=1+xB{x)・・・B(x)=—-—=丄<+oo、(1-032(Ji一兀)2〉式若处1+8二牙工曲2-1)兀"-彳Ln=2n-]+°°「工S+1加Z?:=1比较两边X”的系数,得,站S,严呼k=丄定理3:k=l]—^(neNj,其中?工0,1l—q证明:展开(1_小£严=1-『即得证。k=l6.4数列的通项公式与前比项和公式(1)等差数列{色}的首项为绚,公差为〃,求其通项公式和前九项和公式解:数列{%}的生成函数是+oo-fc®-fe
6、®A(x)二工=ax+工(a“_i+d)x"T=a}+x^anxn~}+d工无心/?=!n=2/i=ln=2=q+xA(x)+dX1-x+82d工兀"=工兀"-*•d
7、+ax+=7n=•too、H=1)比较两边的系数,得,an=a.+(n-l)Jo由定理1,数列{%}的前〃项和数列{s〃}的生成函数是1(E、、=T—=Ya+d^xn=工处心・e+d工兀"h=1i~X(1—X丿=丿z?=l=l丿比较两边対T的系数,得,S”二旳二旳+"("»)d。k=2(1)等比数列{%}的首项为公比为q,求其通项公式和前/?项和公
8、式解:数列{%}的生成函数为+oo+«04-00人⑴二工匕兀心=ax+工%_]炉心=4+gx工匕*一"=ax+qxA^x)n==2k=仏)1-qxn=l比较两边的系数,得,a”=%q「'°由定理1,数列仏}的前〃项和数列{S”}的生成函数是”=11兀/:=1n=比较两边兀心的系数,得,S”=4龙qi=绚(1_?")。k=i_q(3)数列xn'[}的前〃项和公式6.5生成函数的应用(1)求解递推数列的通项公式例1数列仏}的递推公式6ZW+1=2an+3(庇N*),⑷=1。求%、S”。例2数列{勺}的递推公式%+]=2a”+血
9、圧NJ,4=1。求陽、Sno例3数列{%}的递推公式an+[=2atl+3n(neN*),卩=1。求色、S”。例4数列{色}的递推公式an+]=2atJ+h•3n(/?eTV'),aA=1o求a”、S“。例5数列{q“}的递推公式an+2-an+{+an(ngNY),at=a2=l0求a”、S“。(2)求不定方程的解数定理:不定方程X]+x2+•••+xHI=n,其中加、nwN",则①非负整数解数是c;;*=c;;;;“②正整数解数是c;;:r=c;^1;③求适合某种条件的解数(譬如:限制变元的范围、变元的奇偶性、附加变元的系数,即变n
10、-m元的倍数问题)。当2-m时,所有正奇数解数是C£。12证明:①设方程的非负整数解数是色,则{%}的生成函数是-foo4-00ZyJ(1+X+宀=(1-汀JZC爲,/i=0/1=0②设方程的正整数解数是陽,则{色}的生成函数是Z號"=6+/+・・y=/(1-xr=疋zcjyn=0k=061,1=k=n-m=cn-mn-厂“7—1C/?-l③设正奇数解数是色,则{%}的生成函数是n=()k=()n-m・:an-Ch-k_n~m-C盒。2-才问题:把斤个完全一样的球放进加个有标志的盒子中,问共有多少种不同的方法?如果不允许有空盒,共
11、有多少种不同的方法?(3)允许重复的组合数定理:从n个元素{。
12、,色,…,。“}中允许重复地取r个元素的组合数为C:+t。证明:把组合数记着/(仏厂),则/(n,r)=l,约定f(n9O)=1o考虑组合中含